Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
y=x^2 e y=2 x

Passo 1

Temos as curvas y=x^2 (parábola) e y=2x (reta). O objetivo é esboçar a região limitada por essas duas curvas e calcular sua área via integração.

Passo 2

Para esboçar a região, encontramos os pontos de interseção resolvendo x^2=2x, ou seja, x(x-2)=0. Logo, x=0 e x=2. Entre esses valores de x, a reta y=2x fica acima da parábola y=x^2.

Passo 3

A área da região pode ser obtida integrando, no sentido vertical, a diferença entre a função superior e a inferior. Assim,
A=integral0^2l(2x - x^2r),dx,

Passo 4

Calculando a integral, temos
integral(2x - x^2),dx = x^2 - tfracx^33,

Passo 5

Avaliando de 0 a 2:
A=l[x^2 - tfracx^33r]0^2 = l(4 - tfrac83r) - 0 = tfrac12 - 83 = tfrac43

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é tfrac43 unidades de área.

Exercícios relacionados