Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis no ponto (0,0), ou mostrar que ele não existe. O conteúdo envolve limites em várias variáveis e veremos que o valor do quociente depende da direção de aproximação.

Passo 2

Para testar a existência do limite, vamos aproximar (x,y) de (0,0) ao longo de retas y=mx. Substituindo y=mx na função, temos:
(x+y)^2x^2+y^2=(x+mx)^2x^2+(mx)^2=x^2(1+m)^2x^2(1+m^2)=(1+m)^21+m^2

Passo 3

Como esse valor depende do parâmetro m (a inclinação da reta), obtemos diferentes resultados para diferentes m. Por exemplo, se m=0, o limite é 1; se m=1, o limite é 2; se m=-1, o limite é 0.
Para que um limite em várias variáveis exista e seja finito, o valor ao aproximar o ponto pelo domínio deve ser sempre o mesmo, independentemente da trajetória. Aqui, como varia com m, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe, pois depende da direção de aproximação (parâmetro m).

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