Nos Problemas 17-20, use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC z+1z^2(z-2 i) d z
(b) |z-2 i|=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno ointC z+1z^2(z-2i),dz onde C é o círculo |z-2i|=1. O conteúdo aqui é o Teorema dos Resíduos de Cauchy: precisamos identificar os polos da função, ver quais estão dentro de C e somar os seus resíduos.

Passo 2

A função integranda é f(z)=z+1z^2(z-2i). Os polos são em z=0 (polo de ordem 2) e z=2i (polo simples). Como o contorno é o círculo de raio 1 centrado em 2i, o ponto z=2i fica dentro, mas z=0 está a distância 2 de 2i, isto é, fora do círculo.

Passo 3

Para o polo simples em z=2i, o resíduo é dado por . Substituindo Resz=2if(z)=limzto2i(z-2i)z+1z^2(z-2i)=limzto2iz+1z^2 obtemos

Passo 4

Aplicando o Teorema dos Resíduos: ointCf(z),dz=2pi isum(resíduos dentro de C)=2pi il(-1+2i4r)í Simplificando,
ointCf(z),dz = -2pi i4(1+2i) = -pi i2(1+2i)

Passo 5

Por fim, abrindo o parêntese e lembrando que i^2=-1,
-pi i2(1+2i) = -pi i2 -2pi i^22 = -pi i2 +pi = pi - pi2i

Resposta

pi - tfracpi2i

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