Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
y=2 x^2 e y=5 x-3

Passo 1

Neste problema, a gente vai achar a área da região limitada pela parábola y=2x^2 e pela reta y=5x-3. O conteúdo principal é o cálculo de área por integrais definidas: primeiro determinamos onde as curvas se cruzam, depois esboçamos a região e, por fim, montamos e calculamos a integral da diferença entre as funções.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos 2x^2 = 5x - 3. Isso leva à equação quadrática
2x^2 -5x +3 = 0
o discriminante é De, logo as raízes são
x = 5 pm 14 = 1 e x = 64 = 32
Os pontos de interseção são (1,2) e \bigl(\tfrac32,4.5\bigr).

Passo 3

No esboço, a parábola y=2x^2 abre para cima e a reta y=5x-3 cruza a parábola nesses dois pontos. Entre x=1 e x=3/2, a reta fica acima da parábola, formando uma região em formato de “lente” estreita.

Passo 4

A área dessa região é dada pela integral da função de cima menos a de baixo, ou seja,
A = integral1^3/2 l[(5x - 3) - (2x^2)r] ,dx

Passo 5

Para calcular, note que uma antiderivada de -2x^2 +5x -3 é
F(x) = -23x^3 + 52x^2 - 3x
Logo,
A = Fl(tfrac32r) - F(1) = (-23l(tfrac32r)^3 + 52l(tfrac32r)^2 -3cdottfrac32) - (-23 + 52 -3) = 124

Resposta

124

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