(SĂ©rie binomial) Seja alpha um nĂșmero real nĂŁo-inteiro. Neste exercĂ­cio, vamos encontrar uma expansĂŁo em sĂ©rie de potĂȘncias para (1+x)^alpha em torno de x=0.
(a) Mostre que y=(1+x)^alpha Ă© a Ășnica solução da equação (1+x) y^prime=alpha y em(-1, infty) satisfazendo y(0)=1.
(b) Mostre que a sĂ©rie de potĂȘncias
sumn=1^infty alpha(alpha-1) ldots(alpha-n+1)n! x^n
tem raio de convergĂȘncia 1.
© Mostre que 1+g(x) satisfaz a mesma equação diferencial do Ă­tem (a) e vale 1 em x=0. Conclua que para todo alpha nĂŁo-inteiro vale
(1+x)^alpha=1+sumn=1^infty alpha(alpha-1) ldots(alpha-n+1)n! x^n
se |x|<1.
A série acima é chamada de série binomial e foi estudada primeiramente por Newton. A igualdade acima generaliza a fórmula usual do binÎmio de Newton e nos induz a definir para alpha não-inteiro e n in N o coeficiente binomial binomalphan doteq alpha(alpha-1) ldots(alpha-n+1)n!. Dessa forma, temos para cada x in(-1,1) que
(1+x)^alpha=1+sumn=1^inftybinomalphan x^n

Passo 1

Resumo: a gente quer encontrar a expansão em série de potências de (1+x)^alpha ao redor de x=0. Para isso, percebemos que y=(1+x)^alpha satisfaz a equação diferencial (1+x)y'=alpha y em (-1,infty) com y(0)=1. Precisamos então (a) verificar e usar a unicidade dessa solução, (b) estudar o raio de convergência da série de potências candidata, e © mostrar que essa série realmente gera a mesma solução.

Passo 2

Parte (a) – verificando a solução e sua unicidade: Calculamos a derivada de y=(1+x)^alpha:
y'=alpha(1+x)^alpha-1
Logo,
(1+x)y'= (1+x)alpha(1+x)^alpha-1=alpha(1+x)^alpha=alpha y
Também y(0)=(1+0)^alpha=1. Para ver que não há outra solução, reescrevemos a ODE:
y'y=alpha1+x
Integramos: ln|y|=alphaln(1+x)+C, daí y=C(1+x)^alpha. A condição y(0)=1 C=1.

Passo 3

Parte (b) – raio de convergência: Denotemos
an=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!,
e consideremos sumn=1^infty anx^n. Pelo teste da razão,
|an+1x^n+1anx^n|=|alpha-nn+1,x|xrightarrow[ntoinfty]|x|
Assim, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1, ou seja, o raio de convergência é 1.

Passo 4

Parte © – mostrando que a série gera a mesma solução: Definimos
g(x)=sumn=1^infty anx^n,
e
h(x)=1+g(x)
Então
g'(x)=sumn=1^infty n,anx^n-1,
e
(1+x)h'(x)=(1+x)g'(x)=sumn=1^infty n,anx^n-1+sumn=1^infty n,anx^n
Por outro lado,
alpha h(x)=alpha+alphasumn=1^infty anx^n
Comparando coeficientes de potências de x encontramos a relação
(n+1)an+1+n an=alpha an
que é exatamente a recorrência
an+1=alpha-nn+1an,
já satisfeita pelos an definidos acima. Além disso, h(0)=1. Logo h(x) satisfaz a mesma ODE (1+x)h'=alpha h e a mesma condição inicial, e por unicidade h(x)=(1+x)^alpha para |x|<1.

Resposta

Para |x|<1,
(1+x)^alpha=1+sumn=1^inftybinomalphanx^n
com
binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!

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