(Série binomial) Seja
um nĂșmero real nĂŁo-inteiro. Neste exercĂcio, vamos encontrar uma expansĂŁo em sĂ©rie de potĂȘncias para
em torno de
.
(a) Mostre que
Ă© a Ășnica solução da equação
satisfazendo
.
(b) Mostre que a sĂ©rie de potĂȘncias
tem raio de convergĂȘncia 1.
© Mostre que
satisfaz a mesma equação diferencial do Ătem (a) e vale 1 em
. Conclua que para todo
nĂŁo-inteiro vale
se
.
A série acima é chamada de série binomial e foi estudada primeiramente por Newton. A igualdade acima generaliza a fórmula usual do binÎmio de Newton e nos induz a definir para
nĂŁo-inteiro e
o coeficiente binomial
. Dessa forma, temos para cada
que
(a) Mostre que
(b) Mostre que a sĂ©rie de potĂȘncias
© Mostre que
A série acima é chamada de série binomial e foi estudada primeiramente por Newton. A igualdade acima generaliza a fórmula usual do binÎmio de Newton e nos induz a definir para
Passo 1
Resumo: a gente quer encontrar a expansão em série de potências de
ao redor de
. Para isso, percebemos que
satisfaz a equação diferencial
em
com
. Precisamos então (a) verificar e usar a unicidade dessa solução, (b) estudar o raio de convergência da série de potências candidata, e © mostrar que essa série realmente gera a mesma solução.
Passo 2
Parte (a) – verificando a solução e sua unicidade: Calculamos a derivada de
:
Logo,
Também
. Para ver que não há outra solução, reescrevemos a ODE:
Integramos:
, daí
. A condição
dá
.
Passo 3
Parte (b) – raio de convergência: Denotemos
e consideremos
. Pelo teste da razão,
Assim, a série converge se
|x|<1 e diverge se
|x|>1 , ou seja, o raio de convergência é 1.
Passo 4
Parte © – mostrando que a série gera a mesma solução: Definimos
e
Então
e
Por outro lado,
Comparando coeficientes de potências de
x encontramos a relação
que é exatamente a recorrência
já satisfeita pelos
an definidos acima. Além disso,
h(0)=1 . Logo
h(x) satisfaz a mesma ODE
(1+x)h'=alpha h e a mesma condição inicial, e por unicidade
h(x)=(1+x)^alpha para
|x|<1 .
Resposta
Para
|x|<1 ,
com