Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

A gente precisa calcular lim(x,y)to(0,0)x^3y^2x^2+y^2. Esse é um limite de função de duas variáveis, e para tratar limites assim a gente costuma usar coordenadas polares e o teorema do sanduíche (squeeze).

Passo 2

Substituo x = rcostheta e y = rsintheta, onde r = raizx^2+y^2. Assim
x^3y^2x^2+y^2 = (rcostheta)^3,(rsintheta)^2r^2 = r^3cos^3theta,sin^2theta

Passo 3

Avalio o valor absoluto para aplicar o squeeze:
l|r^3cos^3theta,sin^2thetar| = r^3,|cos^3theta|,|sin^2theta| <= r^3 cdot 1 cdot 1 = r^3,
pois |costheta|<=1 e |sintheta|<=1.
Como r = raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), temos r^3to0. Pelo teorema do sanduíche, o valor da expressão também tende a 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados