Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Estamos querendo entender o comportamento de uma função de duas variáveis próxima de
(0,0) e decidir se o limite existe. O conteúdo é limite em várias variáveis e para resolver a gente vai testar a aproximação por diferentes caminhos, comparando os resultados para ver se eles coincidem.
(0,0) e decidir se o limite existe. O conteúdo é limite em várias variáveis e para resolver a gente vai testar a aproximação por diferentes caminhos, comparando os resultados para ver se eles coincidem.
Passo 2
Uma estratégia clássica é circunscrever o limite a uma reta. Considere o caminho y = kx, onde k é uma constante diferente de ±1 (para não dividir por zero).
Substituindo y = kx na expressão, temos
Substituindo y = kx na expressão, temos
Como estamos mandando (x,y) → (0,0), aqui x → 0 e o quociente tende a 0.
Passo 3
Para ver se surge outro valor, vamos usar um caminho não linear. Defina x = t + t^2 e y = t, com t → 0. Substituindo, dá
Quando t → 0, esse quociente tende a 1/2.
Passo 4
Como pelos caminhos retilíneo (y = kx) e curvo (x = t + t^2, y = t) obtemos limites diferentes (0 e 1/2), o limite não pode existir de forma única.
Resposta
O limite não existe.