Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

Estamos querendo entender o comportamento de uma função de duas variáveis próxima de
(0,0) e decidir se o limite existe. O conteúdo é limite em várias variáveis e para resolver a gente vai testar a aproximação por diferentes caminhos, comparando os resultados para ver se eles coincidem.

Passo 2

Uma estratégia clássica é circunscrever o limite a uma reta. Considere o caminho y = kx, onde k é uma constante diferente de ±1 (para não dividir por zero).
Substituindo y = kx na expressão, temos
x,(kx)^2x^2 - (kx)^2 = k^2 x^3x^2,(1 - k^2) = k^2 x1 - k^2
Como estamos mandando (x,y) → (0,0), aqui x → 0 e o quociente tende a 0.

Passo 3

Para ver se surge outro valor, vamos usar um caminho não linear. Defina x = t + t^2 e y = t, com t → 0. Substituindo, dá
(t + t^2),t^2(t + t^2)^2 - t^2 = t^3(1 + t)t^2(t^2 + 2t + 1) - t^2 = t^3(1 + t)t^2(t^2 + 2t + 1 - 1) = t^3(1 + t)t^3(2 + t) = 1 + t2 + t
Quando t → 0, esse quociente tende a 1/2.

Passo 4

Como pelos caminhos retilíneo (y = kx) e curvo (x = t + t^2, y = t) obtemos limites diferentes (0 e 1/2), o limite não pode existir de forma única.

Resposta

O limite não existe.

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