Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
y=x^2 e y=3+5 x-x^2

Passo 1

O enunciado pede para fazer o esboço da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 3 + 5x - x^2 e calcular a área dessa região. O conteúdo é área entre curvas, que exige encontrar pontos de interseção e integrar a diferença das funções.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção igualamos x^2 = 3 + 5x - x^2, o que leva à equação quadrática:
2x^2 - 5x - 3 = 0
Resolvendo por fórmula de Bhaskara, obtemos x = 3 e x = -tfrac12.

Passo 3

Precisamos saber qual função está acima no intervalo [-tfrac12,3]. Avaliando em x=0, temos y1 = 0^2 = 0 e y2 = 3 + 5·0 - 0^2 = 3. Logo, y = 3 + 5x - x^2 está acima de y = x^2 nesse intervalo.

Passo 4

A área é dada pela integral da diferença (função de cima menos função de baixo):
A = integral-1/2^3l[(3 + 5x - x^2) - x^2r],dx = integral-1/2^3(3 + 5x - 2x^2),dx

Passo 5

Calculamos a primitiva de 3 + 5x - 2x^2:
integral(3 + 5x - 2x^2),dx = 3x + 52x^2 - 23x^3
Avaliando de -tfrac12 a 3:
Em x=3 3·3 + tfrac52·9 - tfrac23·27 = tfrac272
Em x=-tfrac12 -tfrac32 + tfrac58 + tfrac112 = -tfrac1924
A diferença é
tfrac272 - l(-tfrac1924r) = 34324

Passo 6

Para esboçar, desenhe as duas parábolas com vértices em (0,0) e em (tfrac52,tfrac494), marcando os pontos de interseção x=-tfrac12 e x=3. A região limitada fica entre essas curvas. O resultado final da área da região é dado por tfrac34324.

Resposta

A área da região é tfrac34324 unidades de área.

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