Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Temos o limite
. É um limite em duas variáveis; para existir, o valor precisa ser o mesmo qualquer que seja a direção de aproximação de
. Vamos usar coordenadas polares e verificar caminhos específicos.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos
e
, com
e
. Substituindo na expressão do quociente, obtemos:
Passo 3
Perceba que o valor resultante depende apenas de
, não de
. Isso significa que, ao levarmos
até
(isto é,
), o resultado pode variar conforme
.
Por exemplo, na direção (onde
,
), temos
. Já na direção
(onde
,
), temos
. Como obtemos valores diferentes, concluímos que o limite não é único e, portanto, não existe.
Por exemplo, na direção
Resposta
O limite não existe.