Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

Temos o limite lim(x,y)to(0,0) xraizx^2+y^2. É um limite em duas variáveis; para existir, o valor precisa ser o mesmo qualquer que seja a direção de aproximação de (0,0). Vamos usar coordenadas polares e verificar caminhos específicos.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos x = rcostheta e y = rsintheta, com r = raizx^2+y^2 e r>0. Substituindo na expressão do quociente, obtemos:
xraizx^2+y^2 = rcosthetar = costheta

Passo 3

Perceba que o valor resultante depende apenas de theta, não de r. Isso significa que, ao levarmos (x,y) até (0,0) (isto é, rto0), o resultado pode variar conforme theta.
Por exemplo, na direção theta=0 (onde y=0, x>0), temos cos0=1. Já na direção theta=tfracpi2 (onde x=0, y>0), temos costfracpi2=0. Como obtemos valores diferentes, concluímos que o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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