Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0): calcular lim(x,y)to(0,0)x^2raizx^2+y^2. O conteúdo aqui é limite em funções de duas variáveis e vamos precisar de coordenadas polares ou de um argumento de desigualdade para avaliar se o limite existe e qual é seu valor.

Passo 2

Para simplificar a expressão e verificar se o resultado depende da direção de aproximação, introduzimos coordenadas polares: definimos x = rcostheta e y = rsintheta, onde r = raizx^2+y^2 e r>=0. Substituindo na função, obtemos:
x^2raizx^2+y^2 = (rcostheta)^2r = rcos^2theta
Agora que a função ficou rcos^2theta, vemos que, ao fazer rto0^+, o termo cos^2theta fica limitado entre 0 e 1, mas não afeta o fator dominante r. Logo,
limrto0^+rcos^2theta = 0,
e o valor obtido não depende de theta. Isso mostra que a função tende a 0 para qualquer direção de chegada ao ponto (0,0), portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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