Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região fechada pelas curvas y=x^{2} e y=4(x-1)^{2}. Vamos usar o conteúdo de cálculo de área entre curvas, que envolve encontrar os pontos de interseção e integrar a diferença das funções.
Passo 2
Para achar as interseções, igualamos as duas expressões:
Expandindo e reorganizando, temos:
Passo 3
Resolvendo essa equação quadrática, o discriminante é Δ=64-48=16. As raízes são
Substituindo em y=x^{2}, os pontos de interseção são
Passo 4
Entre esses valores de x, vemos que x^{2} está acima de 4(x-1)^{2}, como pode ser checado em x=1: 1>0. Assim, a área é dada por
Simplificando o integrando:
Uma antiderivada é
Avaliaremos de x=2/3 a x=2: em x=2 dá 0; em x=2/3 dá
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