Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
y=x^2 e y=4(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pelas curvas y=x^{2} e y=4(x-1)^{2}. Vamos usar o conteúdo de cálculo de área entre curvas, que envolve encontrar os pontos de interseção e integrar a diferença das funções.

Passo 2

Para achar as interseções, igualamos as duas expressões:
x^2=4(x-1)^2
Expandindo e reorganizando, temos:
x^2=4(x^2-2x+1)
x^2=4x^2-8x+4
0=3x^2-8x+4

Passo 3

Resolvendo essa equação quadrática, o discriminante é Δ=64-48=16. As raízes são
x=8pm46implies x=23e x=2
Substituindo em y=x^{2}, os pontos de interseção são (2/3,4/9) e (2,4).

Passo 4

Entre esses valores de x, vemos que x^{2} está acima de 4(x-1)^{2}, como pode ser checado em x=1: 1>0. Assim, a área é dada por
A=integral2/3^2l(x^2-4(x-1)^2r),dx
Simplificando o integrando:
x^2-4(x^2-2x+1)=-3x^2+8x-4
Uma antiderivada é
-x^3+4x^2-4x
Avaliaremos de x=2/3 a x=2: em x=2 dá 0; em x=2/3 dá
-l(tfrac23r)^3+4l(tfrac23r)^2-4l(tfrac23r)= -827+169-83= -3227
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A=0-l(-tfrac3227r)=tfrac3227

Resposta

3227

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