Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
y=x^3 e y=32 raizx

Passo 1

Resumo do enunciado: temos as curvas y = x³ e y = 32√x e queremos esboçar a região limitada por elas e calcular sua área. O conteúdo necessário é área entre curvas via integrais definidas.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
x^3 = 32raizx,
podemos escrever raizx=x^1/2. Dividindo ambos os lados por x^1/2 (considerando x>=0) obtemos
x^5/2 = 32,
o que dá x = 32^2/5 = 4. Além disso, x=0 também satisfaz a equação inicial. Logo, as interseções são em x=0 e x=4.

Passo 3

Para esboçar: a curva y=x^3 parte do origem e cresce devagar até crescer rápido; y=32raizx também parte de (0,0), tem inclinação infinita na origem e cresce mais devagar que o cúbico perto de x=4. Elas se cruzam em (0,0) e (4,64), formando uma “lente” entre elas.

Passo 4

Precisamos identificar qual função está acima em [0,4]. Testando em x=1: x^3=1 e 32raiz1=32, logo 32raizx>x^3 nesse intervalo. Assim a área é dada por
A = integral0^4 l(32raizx - x^3r),dx

Passo 5

Agora, calculamos cada integral:
integral 32 x^1/2,dx = 643x^3/2, integral x^3,dx = x^44
Substituindo os limites em bloco:
A = [643x^3/2 - x^44]0^4 = l(643cdot 8 - 64r) - 0 = 5123 - 64 = 3203

Resposta

A área da região é 3203 unidades de área.

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