Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
e
Passo 1
Resumo do enunciado: temos as curvas y = x³ e y = 32√x e queremos esboçar a região limitada por elas e calcular sua área. O conteúdo necessário é área entre curvas via integrais definidas.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
podemos escrever
. Dividindo ambos os lados por
(considerando
) obtemos
o que dá
. Além disso,
também satisfaz a equação inicial. Logo, as interseções são em
e
.
Passo 3
Para esboçar: a curva
parte do origem e cresce devagar até crescer rápido;
também parte de (0,0), tem inclinação infinita na origem e cresce mais devagar que o cúbico perto de x=4. Elas se cruzam em (0,0) e (4,64), formando uma “lente” entre elas.
Passo 4
Precisamos identificar qual função está acima em
. Testando em
:
e
, logo
nesse intervalo. Assim a área é dada por
Passo 5
Agora, calculamos cada integral:
Substituindo os limites em bloco:
Resposta
A área da região é
unidades de área.