Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
y=x^4 e y=32-x^4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas y = x^4 e y = 32 - x^4 e calcular sua área. O conteúdo principal é cálculo de área entre curvas, que envolve: encontrar interseções para os limites de integração e usar a fórmula
A = integrala^b l(fsup(x) - finf(x)r),dx
.

Passo 2

Precisamos achar os pontos em que as duas curvas se cruzam. Igualando
x^4 = 32 - x^4
obtemos
2x^4 = 32
x^4 = 16 Longrightarrow x = pm 2
Logo, os limites de integração são x = -2 e x = 2.

Passo 3

Em qualquer x entre -2 e 2, temos x^4 <= 16, logo
32 - x^4 >= x^4
Isso mostra que y = 32 - x^4 é a curva superior e y = x^4 é a curva inferior no intervalo de integração.

Passo 4

A área da região é
A = integral-2^2 l[(32 - x^4) - x^4r],dx = integral-2^2 (32 - 2x^4),dx
Agora calculamos:
integral-2^2 (32 - 2x^4),dx = l[32x - 2x^55r]-2^2
= l(32cdot2 - 2tfrac2^55r) - l(32cdot(-2) - 2tfrac(-2)^55r)
= (64 - 2tfrac325) - (-64 + 2tfrac325) = 128 - tfrac1285 = tfrac5125

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é tfrac5125.

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