Nos Problemas 17-20, use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC 1z sen z d z
(a) |z-2 i|=1

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de contorno ointC 1z,sen z,dz sobre o círculo |z-2i|=1, usando o teorema dos resíduos de Cauchy.

Passo 2

Precisamos identificar as singularidades da função f(z)=1z,sen z. Elas ocorrem sempre que o denominador se anula, ou seja, em z=0 (polo de ordem 2, pois zsenzsim z^2 perto de zero) e em z=npi, ninZ (polo simples, pois senz tem zeros simples em múltiplos de pi).

Passo 3

Agora verificamos quais dessas singularidades estão dentro de |z-2i|<1. Para z=0 temos |0-2i|=2>1, e para z=npi (com nneq0) o módulo é ainda maior. Além disso sen(2i)=isinh2neq0, então não há nenhum polo dentro do círculo.

Passo 4

Como não existem singularidades de f(z) no interior do contorno, a função é analítica na região fechada delimitada por C. Pelo teorema de Cauchy (ou de resíduos, com soma de resíduos igual a zero), a integral vale zero.

Resposta

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