Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções:

Passo 1

Estamos com a função f: ℝ³ → ℝ dada por f(x,y,z)=√(x+y+z) e queremos achar onde ela é contínua. O conteúdo envolvido é composição de funções (soma e raiz) e vamos precisar do domínio de definição e das propriedades de continuidade dessas funções.

Passo 2

Para a raiz quadrada estar bem definida, precisamos que o argumento seja não negativo. Então o domínio de f é dado por
D = (x,y,z)in ℝ^3 : x+y+z >= 0

Passo 3

A função g(x,y,z)=x+y+z é uma combinação linear das variáveis, e sabemos que funções lineares são contínuas em todo ℝ³.

Passo 4

A função h(t)=√t é contínua em todo o seu domínio t\ge0, pois a raiz quadrada é uma função elementar contínua em [0,∞).

Passo 5

Como f é a composição h∘g, e g é contínua em ℝ³ e h é contínua em [0,∞), a composição f será contínua em todos os pontos onde g(x,y,z) está em [0,∞), ou seja, exatamente em D.

Passo 6

Logo, o conjunto de pontos em que f é contínua coincide com o seu domínio de definição.

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade é { (x,y,z)∈ℝ³ : x+y+z ≥ 0 }.

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