Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
y=x^2 e y=x^23

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x^2/3. Essa questão envolve encontrar os pontos de interseção das curvas e calcular a integral definida da diferença entre elas.

Passo 2

Igualando as funções para achar os pontos de interseção, temos x^2 = x^2/3. Isso dá x=0 ou x^4/3=1, ou seja, x=pm1. Os pontos de interseção são (-1,1), (0,0) e (1,1).

Passo 3

Analisando quem fica por cima no intervalo [-1,1], basta comparar x^2/3 e x^2. Para todo x em (-1,1), verifica-se x^2/3>= x^2. Portanto, a curva y=x^2/3 é a função superior e y=x^2 a inferior.

Passo 4

A área fica dada pela integral definida da função superior menos a inferior no intervalo de interseção:
A=integral-1^1l(x^2/3-x^2r),dx

Passo 5

Para calcular essa integral, usamos as antiderivadas
integral x^2/3,dx=35x^5/3, integral x^2,dx=x^33
Avaliando de -1 a 1:
A=[35x^5/3-x^33]-1^1 =l(35-13r)-l(-35+13r)=415-l(-415r)=815

Passo 6

Logo, a área da região limitada pelas curvas é tfrac815.

Resposta

815

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