Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
y=x^3 e y=2 x^3+x^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas y=x^3 e y=2x^3+x^2-2x. O conteúdo é “área entre curvas”, e vamos precisar:
  • Encontrar os pontos de interseção resolvendo x^3=2x^3+x^2-2x.
  • Analisar qual curva fica acima em cada intervalo entre as raízes.
  • Montar integrais da diferença das funções.

Passo 2

Igualando as curvas para achar os limites de integração temos:
x^3 = 2x^3 + x^2 - 2x
que leva a
x^3 + x^2 -2x = 0
Colocando em evidência:
x(x^2 + x -2)=x(x+2)(x-1)=0
Logo as interseções ocorrem em x=-2, 0, 1.

Passo 3

Precisamos saber qual função está acima em cada intervalo [-2,0] e [0,1]. Para isso observamos a diferença
f(x)= (2x^3+x^2-2x)-x^3 = x^3+x^2-2x = x(x+2)(x-1)
No intervalo [-2,0] temos f(x)>0, ou seja y=2x^3+x^2-2x está acima de y=x^3.
No intervalo [0,1] temos f(x)<0, então y=x^3 está acima de y=2x^3+x^2-2x.

Passo 4

Agora montamos a área como soma das integrais das diferenças absolutas:
$$A=\int_{-2}{0}\bigl[(2x3+x2-2x)-x3\bigr]dx , +
\int_{0}{1}\bigl[x3-(2x3+x2-2x)\bigr]dx.$$
Simplificando o integrando em ambas: A=integral-2^0l[(2x^3+x^2-2x)-x^3r]dx , + integral0^1l[x^3-(2x^3+x^2-2x)r]dx no primeiro, e x^3+x^2-2x no segundo.

Passo 5

Calculamos cada integral separadamente. Primeiro:
integral(x^3+x^2-2x)dx=x^44+x^33-x^2 + C
Então
integral-2^0(x^3+x^2-2x)dx = l[0 -l((-2)^44+(-2)^33-(-2)^2r)r] = 8/3
Segundo:
integral0^1(-x^3-x^2+2x)dx = -l[x^44+x^33-x^2r]0^1 = 5/12

Passo 6

Somando as duas partes obtemos a área total:
A = 83 + 512 = 3212 + 512 = 3712

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é tfrac3712.

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