Em cada um dos problemas a seguir faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas e encontre área da região.
e
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
e
. O conteúdo é “área entre curvas”, e vamos precisar:
- Encontrar os pontos de interseção resolvendo
. - Analisar qual curva fica acima em cada intervalo entre as raízes.
- Montar integrais da diferença das funções.
Passo 2
Igualando as curvas para achar os limites de integração temos:
que leva a
Colocando em evidência:
Logo as interseções ocorrem em
Passo 3
Precisamos saber qual função está acima em cada intervalo
e
. Para isso observamos a diferença
No intervalo
No intervalo
Passo 4
Agora montamos a área como soma das integrais das diferenças absolutas:
$$A=\int_{-2}{0}\bigl[(2x3+x2-2x)-x3\bigr]dx , +
\int_{0}{1}\bigl[x3-(2x3+x2-2x)\bigr]dx.$$
Simplificando o integrando em ambas: no primeiro, e
no segundo.
Simplificando o integrando em ambas:
Passo 5
Calculamos cada integral separadamente. Primeiro:
Então
Segundo:
Passo 6
Somando as duas partes obtemos a área total:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
.