Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções:
Passo 1
Estamos com a função de duas variáveis
Precisamos encontrar onde ela é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e cálculo de limite no ponto crítico (0,0). Vamos tratar separadamente os casos (x,y)≠(0,0) e (x,y)=(0,0).
Passo 2
Para qualquer (x,y)≠(0,0) o numerador e denominador são polinômios em x e y e o denominador não se anula. Logo f é quociente de funções contínuas sem divisão por zero, ou seja, f é contínua em todo ponto fora da origem.
Passo 3
Para verificar continuidade em (0,0), aplicamos a definição: devemos ter
Use coordenadas polares onde x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Então
Como |\cos^3\theta|≤1, vem |f(r,\theta)|≤r e, à medida que r→0, isso vai a zero. Portanto o limite existe e vale 0, coincidente com f(0,0).
Passo 4
Como f é contínua em todos os pontos fora da origem e também em (0,0), concluímos que f é contínua em todo
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Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade é todo
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