Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções:
x^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Estamos com a função de duas variáveis
f(x,y)=x^3x^2+y^2&(x,y)neq(0,0)0&(x,y)=(0,0)
Precisamos encontrar onde ela é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e cálculo de limite no ponto crítico (0,0). Vamos tratar separadamente os casos (x,y)≠(0,0) e (x,y)=(0,0).

Passo 2

Para qualquer (x,y)≠(0,0) o numerador e denominador são polinômios em x e y e o denominador não se anula. Logo f é quociente de funções contínuas sem divisão por zero, ou seja, f é contínua em todo ponto fora da origem.

Passo 3

Para verificar continuidade em (0,0), aplicamos a definição: devemos ter
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Use coordenadas polares onde x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Então
f(r,theta)=(rcostheta)^3r^2=rcos^3theta
Como |\cos^3\theta|≤1, vem |f(r,\theta)|≤r e, à medida que r→0, isso vai a zero. Portanto o limite existe e vale 0, coincidente com f(0,0).

Passo 4

Como f é contínua em todos os pontos fora da origem e também em (0,0), concluímos que f é contínua em todo R^2.

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade é todo R^2.

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