Nos Problemas 17-20, use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
(b)
(b)
Passo 1
O exercício pede para calcular
usando o teorema de resíduos de Cauchy; precisamos identificar os polos de
e escolher aqueles dentro do contorno
.
Passo 2
As singularidades de
vêm de zeros do denominador: em
(polo de ordem 2) e em
,
(polos simples vindos de
).
Passo 3
Verificando quais estão dentro de
: para
,
, então
está dentro; para
,
, logo só
.
Passo 4
Aplicando o teorema de resíduos de Cauchy, obtemos:
Como
é polo de ordem 2, usamos a definição de resíduo para polo duplo:
Expandindo
em série de Taylor:
temos
e sua derivada é
, que tende a 0 quando
.
Logo . Concluímos que
Logo
Resposta
0