Nos Problemas 17-20, use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC 1z sen z d z
(b) |z-2 i|=3

Passo 1

O exercício pede para calcular ointC 1zsin z,dz usando o teorema de resíduos de Cauchy; precisamos identificar os polos de f(z)=1/(zsin z) e escolher aqueles dentro do contorno C:;|z-2i|=3.

Passo 2

As singularidades de f(z)=1/(zsin z) vêm de zeros do denominador: em z=0 (polo de ordem 2) e em z=npi, ninZsetminus0 (polos simples vindos de sin z=0).

Passo 3

Verificando quais estão dentro de C: para z=0, |0-2i|=2<3, então 0 está dentro; para z=pmpi, |pmpi-2i|=raizpi^2+4approx3,72>3, logo só z=0.

Passo 4

Aplicando o teorema de resíduos de Cauchy, obtemos:
ointC 1zsin z,dz = 2pi i,Resl(1zsin z,0r)
Como z=0 é polo de ordem 2, usamos a definição de resíduo para polo duplo:
Resl(1zsin z,0r) = limzto0 ddzl[z^21zsin zr] = limzto0 ddzl(zsin zr)
Expandindo sin z em série de Taylor:
sin z = z - tfracz^36 + cdots
temos
zsin z = 1 + z^26 + cdots
e sua derivada é z3+cdots, que tende a 0 quando zto0.
Logo Res(1/(zsin z),0)=0. Concluímos que
ointC 1zsin z,dz = 2pi i cdot 0 = 0

Resposta

0

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