Em cada um dos Problemas 1 a 6 , suponha que a função dada é estendida periodicamente para fora do intervalo original. ^5
Esboce o gráfico da função para a qual a série converge por três períodos.
f(x)=rr-1, & pi <= x<0, 1, & 0 <= x<pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico de uma função que é estendida periodicamente para fora de um intervalo original, especificamente por três períodos. A função dada é definida por partes:
f(x) = -1, & -pi <= x < 0, 1, & 0 <= x < pi
Vamos usar conceitos de funções periódicas e gráficos de funções definidas por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser estendida periodicamente. Isso quer dizer que, depois de um certo intervalo (no nosso caso, de -pi a pi), a função começa a se repetir exatamente da mesma forma. Então, se plotarmos de -pi a pi, podemos repetir esse padrão para estender o gráfico para os outros intervalos.

Passo 3

Agora, vamos identificar os intervalos e os valores da função:
  • De -pi até 0, f(x) = -1.
  • De 0 até pi, f(x) = 1.
Isso cria uma função que alterna entre -1 e 1 em cada intervalo de comprimento pi.

Passo 4

Vamos começar a desenhar o gráfico para três períodos completos. Cada período tem comprimento 2pi, pois vai de -pi a pi. Três períodos cobrem o intervalo de -3pi a 3pi. Vamos dividir esse intervalo em partes iguais, seguindo o padrão da função.

Passo 5

Vamos esboçar cada período:
  1. Primeiro período ( -3pi a -pi):
    • De -3pi a -2pi: f(x) = -1
    • De -2pi a -pi: f(x) = 1
  2. Segundo período ( -pi a pi):
    • De -pi a 0: f(x) = -1
    • De 0 a pi: f(x) = 1
  3. Terceiro período ( pi a 3pi):
    • De pi a 2pi: f(x) = -1
    • De 2pi a 3pi: f(x) = 1

Passo 6

Agora, juntando tudo, o gráfico será uma série de retângulos alternados entre -1 e 1 em cada subintervalo de pi, se repetindo a cada período de 2pi.

Resposta

O gráfico da função f(x), estendido periodicamente por três períodos, consiste em três blocos onde a função alterna entre -1 e 1 em cada intervalo de pi. Cada período de 2pi mostra a função indo de -1 a 1 e voltando para -1, repetindo esse padrão para cobrir o intervalo de -3pi a 3pi.

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