Seja f(x)=x+1. definida apenas para x no intervalo [0,2).
Esboce a sua extensão ímpar de período 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = x + 1 , que está definida no intervalo [0, 2). O exercício pede para a gente construir a extensão ímpar dessa função com período 4. Isso faz parte do estudo de funções periódicas e suas extensões simétricas, neste caso, a extensão ímpar.
Para resolver, vamos precisar entender o que é uma extensão ímpar e como construí-la para um período específico. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma extensão ímpar. Uma função é ímpar se satisfaça a condição f(-x) = -f(x) para todo x . Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Como queremos uma função periódica com período 4, vamos usar essa simetria ímpar para estender a função original f(x) = x + 1 para todo o eixo x .

Passo 3

Vamos dividir o eixo x em intervalos de 4 unidades, já que o período é 4. O intervalo original é [0, 2), então a extensão abrangerá múltiplos de 4.
Primeiro, consideramos f(x) no intervalo [0, 2):
f(x) = x + 1
Para manter a propriedade de função ímpar, precisamos definir f(-x) = -f(x) . Então, no intervalo (-2, 0):
f(x) = -f(-x) = -((-x) + 1) = x - 1

Passo 4

Agora, vamos estender isso para todo o período de 4 unidades. Isso significa que a função se repete a cada 4 unidades, mantendo a simetria ímpar.
Para [2, 4), usamos a periodicidade:
f(x) = f(x - 4)
Como x - 4 estará em [-2, 0), usamos a definição f(x - 4) = (x - 4) - 1 = x - 5 .
E para [-4, -2):
f(x) = f(x + 4) = (x + 4) + 1 = x + 5

Passo 5

Vamos resumir os intervalos:
  • [-4, -2): f(x) = x + 5
  • [-2, 0): f(x) = x - 1
  • [0, 2): f(x) = x + 1
  • [2, 4): f(x) = x - 5
E isso se repete a cada período de 4 unidades.

Resposta

A extensão ímpar de período 4 da função f(x) = x + 1 , definida em [0, 2), é:
f(x) = x + 5, & -4 <= x < -2 x - 1, & -2 <= x < 0 x + 1, & 0 <= x < 2 x - 5, & 2 <= x < 4
E essa sequência se repete a cada período de 4 unidades.

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