Seja
. definida apenas para
no intervalo
.
Esboce a sua extensão ímpar de período 4.
Esboce a sua extensão ímpar de período 4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
, que está definida no intervalo
. O exercício pede para a gente construir a extensão ímpar dessa função com período 4. Isso faz parte do estudo de funções periódicas e suas extensões simétricas, neste caso, a extensão ímpar.
Para resolver, vamos precisar entender o que é uma extensão ímpar e como construí-la para um período específico. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma extensão ímpar. Uma função é ímpar se satisfaça a condição
para todo
. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Como queremos uma função periódica com período 4, vamos usar essa simetria ímpar para estender a função original
para todo o eixo
.
Passo 3
Vamos dividir o eixo
em intervalos de 4 unidades, já que o período é 4. O intervalo original é
, então a extensão abrangerá múltiplos de 4.
Primeiro, consideramos
no intervalo
:
Para manter a propriedade de função ímpar, precisamos definir
. Então, no intervalo
:
Passo 4
Agora, vamos estender isso para todo o período de 4 unidades. Isso significa que a função se repete a cada 4 unidades, mantendo a simetria ímpar.
Para
, usamos a periodicidade:
Como
estará em
, usamos a definição
.
E para
:
Passo 5
Vamos resumir os intervalos:
-
: -
: -
: -
:
E isso se repete a cada período de 4 unidades.
Resposta
A extensão ímpar de período 4 da função
, definida em
, é:
E essa sequência se repete a cada período de 4 unidades.