Seja f(x)=x+1. definida apenas para x no intervalo [0,2).
Calcule a Série de Fourier em senos de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a Série de Fourier em senos da função f(x) = x + 1 definida no intervalo [0, 2). Isso faz parte da matéria de Análise de Fourier, onde a gente decompõe funções periódicas em somas de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de senos e montar a expressão final.

Passo 2

Primeiro, como queremos a série apenas em senos, isso significa que vamos considerar uma extensão ímpar da função f(x) no intervalo [-2, 2). Isso simplifica porque, em funções ímpares, os coeficientes dos cossenos na série de Fourier são zero.

Passo 3

A fórmula geral para a Série de Fourier em senos é:
f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi xL)
Onde L é metade do período. No nosso caso, o período é 2L = 4 , então L = 2 .

Passo 4

Para encontrar os coeficientes bn , usamos a fórmula:
bn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx
Substituindo L = 2 :
bn = 22 integral0^2 (x + 1) sin(npi x2) dx = integral0^2 (x + 1) sin(npi x2) dx

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral (x + 1) sin(npi x2) dx
Vamos fazer isso em duas partes:
integral x sin(npi x2) dx + integral sin(npi x2) dx
Usando integração por partes para a primeira integral e uma fórmula básica para a segunda, obtemos:
integral x sin(npi x2) dx = -2xnpi cos(npi x2) + 4n^2 pi^2 sin(npi x2)
integral sin(npi x2) dx = -2npi cos(npi x2)

Passo 6

Agora, avaliamos essas expressões de 0 a 2 :
Para a primeira parte:
-2xnpi cos(npi x2) |0^2 + 4n^2 pi^2 sin(npi x2) |0^2
E para a segunda parte:
-2npi cos(npi x2) |0^2
Simplificando e calculando os limites, notamos que alguns termos se anulam e outras simplificam, resultando em:
bn = 4n^2 pi^2 [1 - (-1)^n]

Passo 7

Observe que 1 - (-1)^n é zero quando n é par e 2 quando n é ímpar. Portanto, os coeficientes bn são não nulos apenas para n ímpares.
Podemos reescrever bn como:
bn = 8n^2 pi^2 & se n ímpar 0 & se n par í

Resposta

A Série de Fourier em senos de f(x) = x + 1 no intervalo [0, 2) é:
f(x) = sumsubstackn=1 n ímpar^infty 8n^2 pi^2 sin(npi x2) í

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