Seja . definida apenas para no intervalo .
Calcule a Série de Fourier em senos de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a Série de Fourier em senos da função definida no intervalo . Isso faz parte da matéria de Análise de Fourier, onde a gente decompõe funções periódicas em somas de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de senos e montar a expressão final.
Passo 2
Primeiro, como queremos a série apenas em senos, isso significa que vamos considerar uma extensão ímpar da função no intervalo . Isso simplifica porque, em funções ímpares, os coeficientes dos cossenos na série de Fourier são zero.
Passo 3
A fórmula geral para a Série de Fourier em senos é:
Onde é metade do período. No nosso caso, o período é , então .
Passo 4
Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula:
Substituindo :
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Vamos fazer isso em duas partes:
Usando integração por partes para a primeira integral e uma fórmula básica para a segunda, obtemos:
Passo 6
Agora, avaliamos essas expressões de a :
Para a primeira parte:
E para a segunda parte:
-2npi cos(npi x2) |0^2
Simplificando e calculando os limites, notamos que alguns termos se anulam e outras simplificam, resultando em:
bn = 4n^2 pi^2 [1 - (-1)^n]
Passo 7
Observe que 1 - (-1)^n é zero quando n é par e 2 quando n é ímpar. Portanto, os coeficientes bn são não nulos apenas para n ímpares.
Podemos reescrever bn como:
bn = 8n^2 pi^2 & se n ímpar 0 & se n par í
Resposta
A Série de Fourier em senos de f(x) = x + 1 no intervalo [0, 2) é:
f(x) = sumsubstackn=1 n ímpar^infty 8n^2 pi^2 sin(npi x2) í