Seja f(x)=x+1. definida apenas para x no intervalo [0,2).
Calcule a Série de Fourier em cossenos de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x) = x + 1 definida no intervalo [0, 2). Nosso objetivo aqui é encontrar a Série de Fourier em cossenos dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, especialmente a parte que envolve os cossenos, que é útil para funções pares ou quando queremos representar funções definidas em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Série de Fourier em cossenos é usada para representar funções periódicas usando apenas termos com cossenos. Isso é especialmente útil quando a função é simétrica em relação ao eixo y (par), mas mesmo que não seja, podemos usar uma extensão par para facilitar o cálculo.

Passo 3

Como nossa função f(x) = x + 1 está definida no intervalo [0, 2), vamos considerar que ela se repete a cada 2L , onde L = 2 . Então, o período T da função será 2L = 4 .

Passo 4

A Série de Fourier em cossenos é dada por:
f(x) approx a02 + sumn=1^infty an cos(npi xL)
onde os coeficientes an são calculados por:
an = 2L integral0^L f(x) cos(npi xL) dx
Vamos calcular a0 e os an .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a0 :
a0 = 2L integral0^L f(x) dx = 22 integral0^2 (x + 1) dx = integral0^2 (x + 1) dx
Vamos integrar:
integral (x + 1) dx = x^22 + x
Avaliado de 0 a 2:
( 2^22 + 2 ) - ( 0^22 + 0 ) = (2 + 2) - 0 = 4
Então, a0 = 4 .

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes an :
an = 22 integral0^2 (x + 1) cos(npi x2) dx = integral0^2 (x + 1) cos(npi x2) dx
Vamos resolver essa integral por partes. Vamos definir:
u = x + 1 Rightarrow du = dx
dv = cos(npi x2) dx Rightarrow v = 2npi sin(npi x2)
Aplicando a integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du = (x + 1) cdot 2npi sin(npi x2) - integral 2npi sin(npi x2) dx
Integrando novamente:
integral sin(npi x2) dx = -2npi cos(npi x2)
Substituindo de volta:
(x + 1) cdot 2npi sin(npi x2) + 4(npi)^2 cos(npi x2) g|0^2
Agora, avaliando nos limites:
Para x = 2 :
(x + 1) = 3
sin(npi cdot 22) = sin(npi) = 0
cos(npi cdot 22) = cos(npi) = (-1)^n
Para x = 0 :
(x + 1) = 1
sin(0) = 0
cos(0) = 1
Então, substituindo:
[0 + 4(npi)^2 (-1)^n] - [0 + 4(npi)^2 (1)] = 4(npi)^2 [(-1)^n - 1]
Então, temos:
an = 4(npi)^2 [1 - (-1)^n]

Passo 7

Observando a expressão de an , vemos que quando n é par, (-1)^n = 1 , então an = 0 . Quando n é ímpar, (-1)^n = -1 , então:
an = 4(npi)^2 (1 - (-1)) = 8(npi)^2
Portanto, os coeficientes an são zero para n par e 8(npi)^2 para n ímpar.

Resposta

A Série de Fourier em cossenos de f(x) = x + 1 no intervalo [0, 2) é dada por:
f(x) = 2 + sumk=1^infty 8((2k - 1)pi)^2 cos((2k - 1)pi x2)

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