Seja . definida apenas para no intervalo .
Calcule a Série de Fourier em cossenos de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida no intervalo . Nosso objetivo aqui é encontrar a Série de Fourier em cossenos dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, especialmente a parte que envolve os cossenos, que é útil para funções pares ou quando queremos representar funções definidas em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Série de Fourier em cossenos é usada para representar funções periódicas usando apenas termos com cossenos. Isso é especialmente útil quando a função é simétrica em relação ao eixo y (par), mas mesmo que não seja, podemos usar uma extensão par para facilitar o cálculo.
Passo 3
Como nossa função está definida no intervalo , vamos considerar que ela se repete a cada , onde . Então, o período da função será .
Passo 4
A Série de Fourier em cossenos é dada por:
onde os coeficientes são calculados por:
Vamos calcular e os .
Passo 5
Primeiro, vamos calcular :
Vamos integrar:
Avaliado de 0 a 2:
Então, .
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Vamos resolver essa integral por partes. Vamos definir: