Seja f(x)=x+1. definida apenas para x no intervalo [0,2).
Esboce a sua extensão par de período 4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função f(x) = x + 1 , que está definida apenas no intervalo [0, 2). O que precisamos fazer é criar uma extensão par dessa função com período 4. Isso significa que vamos estender a função para todo o eixo dos números, garantindo que ela seja simétrica em relação ao eixo y (par) e que se repita a cada 4 unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função par. Uma função é par se f(-x) = f(x) para todo x no domínio. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
Como nossa função original f(x) = x + 1 está definida apenas para x in [0, 2) , precisamos definir sua extensão par para todo o eixo.

Passo 3

Para criar a extensão par, vamos definir f(-x) = f(x) para os valores de x negativos. Assim, para x in [-2, 0) , teremos:
f(-x) = (-x) + 1 = -x + 1
Mas como a função deve ser par, precisamos que f(-x) = f(x) . Portanto, a extensão par de f(x) será:
fpar(x) = x + 1, & se x in [0, 2) -x + 1, & se x in [-2, 0)

Passo 4

Agora, vamos considerar o período da função. O período é o intervalo após o qual a função se repete. Neste caso, o período é 4, então a função se repetirá a cada 4 unidades ao longo do eixo x.
Para isso, vamos estender a função para outros intervalos usando a periodicidade:
fpar, período 4(x) = fpar(x mod 4) í
Isso significa que a função se repetirá a cada 4 unidades, mantendo a simetria par.

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico da extensão par de f(x) com período 4.
  1. No intervalo [0, 2), a função é f(x) = x + 1 , que é uma reta crescente de 1 a 3.
  2. No intervalo [-2, 0), a função é f(x) = -x + 1 , que é uma reta decrescente de 3 a 1.
Esses dois segmentos formam um “V” simétrico em relação ao eixo y. Replicando esse “V” a cada 4 unidades, temos a função com período 4.

Resposta

A extensão par de [f(x) = x + 1) com período 4 é dada por:
onde (k] é qualquer inteiro, representando as repetições da função a cada 4 unidades.

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