Seja . definida apenas para no intervalo .
Esboce a sua extensão par de período 4.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função , que está definida apenas no intervalo . O que precisamos fazer é criar uma extensão par dessa função com período 4. Isso significa que vamos estender a função para todo o eixo dos números, garantindo que ela seja simétrica em relação ao eixo y (par) e que se repita a cada 4 unidades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função par. Uma função é par se para todo x no domínio. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
Como nossa função original está definida apenas para , precisamos definir sua extensão par para todo o eixo.
Passo 3
Para criar a extensão par, vamos definir para os valores de x negativos. Assim, para , teremos:
Mas como a função deve ser par, precisamos que . Portanto, a extensão par de será:
Passo 4
Agora, vamos considerar o período da função. O período é o intervalo após o qual a função se repete. Neste caso, o período é 4, então a função se repetirá a cada 4 unidades ao longo do eixo x.
Para isso, vamos estender a função para outros intervalos usando a periodicidade:
fpar, período 4(x) = fpar(x mod 4) í
Isso significa que a função se repetirá a cada 4 unidades, mantendo a simetria par.
Passo 5
Vamos esboçar o gráfico da extensão par de f(x) com período 4.
No intervalo [0, 2), a função é f(x) = x + 1 , que é uma reta crescente de 1 a 3.
No intervalo [-2, 0), a função é f(x) = -x + 1 , que é uma reta decrescente de 3 a 1.
Esses dois segmentos formam um “V” simétrico em relação ao eixo y. Replicando esse “V” a cada 4 unidades, temos a função com período 4.
Resposta
A extensão par de [f(x) = x + 1) com período 4 é dada por:
onde (k] é qualquer inteiro, representando as repetições da função a cada 4 unidades.