Em cada um dos Problemas 6 e 7, use a linearidade da transformada de Laplace para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.
f(t)=sen(b t) senh(b t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=sin(b t),sinh(b t),
onde b é constante real. O conteúdo principal é o uso da linearidade da transformada de Laplace e das expressões em termos de exponenciais para funções trigonométricas e hiperbólicas. Vamos:
  1. escrever sin(b t) e sinh(b t) como combinações de exponenciais,
  2. multiplicar para obter f(t) como soma de exponenciais,
  3. aplicar a transformada a cada termo,
  4. somar e simplificar.

Passo 2

Use as fórmulas
sin(b t)=e^i b t-e^-i b t2i, sinh(b t)=e^b t-e^-b t2
Multiplicando,
sin(b t),sinh(b t) =14il(e^(1+i)b t-e^(1-i)b t-e^(-1+i)b t+e^-(1+i)b tr)

Passo 3

Pela linearidade,
Le^alpha t=1s-alpha,
valendo para cada alpha. Assim,
Lf(t) =14il[ 1s-(b+ib) -1s-(b-ib) -1s-(-b+ib) +1s-(-b-ib) r]

Passo 4

Combine em pares para eliminar os i:
1s-(b+ib)-1s-(b-ib) =2ib(s-b)^2+b^2,
-1s-(-b+ib)+1s-(-b-ib) =-2ib(s+b)^2+b^2
Logo
Lf(t) =14il(2ib(s-b)^2+b^2-2ib(s+b)^2+b^2r) =b2l[1(s-b)^2+b^2-1(s+b)^2+b^2r]

Passo 5

Para simplificar ainda mais, note que
1(s-b)^2+b^2-1(s+b)^2+b^2 =4sbl((s-b)^2+b^2r)l((s+b)^2+b^2r)
e que
l((s-b)^2+b^2r)l((s+b)^2+b^2r) =(s^2-2sb+2b^2)(s^2+2sb+2b^2)=s^4+4b^4
Assim
Lsin(b t)sinh(b t) =b2,4sbs^4+4b^4 =2b^2,ss^4+4b^4

Resposta

boxed Lsin(b t),sinh(b t) =2,b^2,ss^4+4,b^4

Exercícios relacionados