Para cada produto interno lang<=, rang<= em \mathbb{R}^{2} abaixo definido, faça o reconhecimento >=ométrico do conjunto çé\left{x \in \mathbb{R}^{2}:|x|=1\right} , onde |\cdot| é a norma definida por é\langle ,\rangle .$
(a) (a) ;

Passo 1

O enunciado define em R^2 o produto interno
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= ;=;4x1y1+9x2y2
e pede para reconhecer geometricamente o conjunto
xinR^2:|x|=1, onde |x|=raizlang<= x,xrang<=.

Passo 2

Pela definição da norma associada, temos
|x|=1 Long<=ftrightarrow lang<= x,xrang<==1

Passo 3

Calculamos lang<= x,xrang<= para x=(x1,x2):
lang<= x,xrang<= =4x1^2+9x2^2
Logo a condição |x|=1 vira
4x1^2+9x2^2=1

Passo 4

Para ver que isso é uma elipse, escrevemos em forma padrão dividindo ambos os lados por 1:
x1^2tfrac14 ;+;x2^2tfrac19=1

Passo 5

Essa é a equação de uma elipse centrada na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados, semieixo em x1 de comprimento
raiztfrac14=tfrac12 e semieixo em x2 de comprimento raiztfrac19=tfrac13.

Resposta

O conjunto xinR^2:|x|=1 é a elipse centrada na origem dada por
4x1^2+9x2^2=1,
com semieixos de comprimentos tfrac12 (no eixo x1) e tfrac13 (no eixo x2).

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