Considere em
o produto interno definido por
c) Conclua pelos itens anteriores que os vetores
e
formam uma base ortonormal de
em relação ao produto interno (2).
Passo 1
O enunciado define em
o produto interno
e pede para mostrar que
formam uma base ortonormal em relação a esse produto interno. Para isso, vamos verificar:
-
(normalização), -
(ortogonalidade), - independência linear (então são base).
Passo 2
Calculemos
:
Passo 3
Calculemos
e
:
Logo, ambos têm norma 1 e são ortogonais.
Passo 4
Como
e
são não nulos, ortogonais e distintos, eles são linearmente independentes em
. Um conjunto ortogonal de dois vetores não nulos em
gera o espaço todo, logo é base.
Resposta
Os vetores
e
formam uma base ortonormal de
em relação ao produto interno dado.