Considere em R^2 o produto interno definido por
lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==4 x1 y1+9 x2 y2
c) Conclua pelos itens anteriores que os vetores v1=(1 / 2,0) e v2=(0,1 / 3) formam uma base ortonormal de R^2 em relação ao produto interno (2).

Passo 1

O enunciado define em R^2 o produto interno
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= = 4x1y1 + 9x2y2
e pede para mostrar que
v1 = l(tfrac12,0r), v2 = l(0,tfrac13r)
formam uma base ortonormal em relação a esse produto interno. Para isso, vamos verificar:
  1. lang<= vi,virang<= = 1 (normalização),
  2. lang<= v1,v2rang<= = 0 (ortogonalidade),
  3. independência linear (então são base).

Passo 2

Calculemos lang<= v1,v1rang<=:
lang<= v1,v1rang<= =4cdottfrac12cdottfrac12 ;+;9cdot0cdot0 =4cdottfrac14 =1

Passo 3

Calculemos lang<= v2,v2rang<= e lang<= v1,v2rang<=:
lang<= v2,v2rang<= =4cdot0cdot0 ;+;9cdottfrac13cdottfrac13 =9cdottfrac19 =1,
lang<= v1,v2rang<= =4cdottfrac12cdot0 ;+;9cdot0cdottfrac13 =0
Logo, ambos têm norma 1 e são ortogonais.

Passo 4

Como v1 e v2 são não nulos, ortogonais e distintos, eles são linearmente independentes em R^2. Um conjunto ortogonal de dois vetores não nulos em R^2 gera o espaço todo, logo é base.

Resposta

Os vetores v1=(tfrac12,0) e v2=(0,tfrac13) formam uma base ortonormal de R^2 em relação ao produto interno dado.

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