Em R^4, considere o produto definido por
lang<=(u1, u2, u3, u4),(v1, v2, v3, v4)rang<==sumi=1^4 ai ui vi
onde ai, i=1,2,3,4, são constantes reais positivas.
(c) Dados u=(-3,1,2,-1) e v=(4,0,-8,0), calcule:
iii. u-(lang<= u, vrang<=|v|^2) v

Passo 1

O enunciado define em R^4 o produto interno
lang<= u,vrang<= ;=;sumi=1^4 ai,ui,vi,
com ai>0 constantes, e pede o vetor
u - lang<= u,vrang<=|v|^2,v,
que é exatamente u menos a projeção ortogonal de u sobre v. Vamos calcular em seis etapas: produto interno, norma ao quadrado, coeficiente escalar, projeção, subtração e simplificação.

Passo 2

Calcular lang<= u,vrang<= para
u = (-3,1,2,-1), v=(4,0,-8,0)
Pelo produto definido,
lang<= u,vrang<= = a1(-3)(4) + a2(1)(0) + a3(2)(-8) + a4(-1)(0) = -12a1 ;-;16a3

Passo 3

Calcular |v|^2 = lang<= v,vrang<=:
|v|^2 = a1cdot4^2 + a2cdot0^2 + a3cdot(-8)^2 + a4cdot0^2 = 16,a1 + 64,a3

Passo 4

Montar o escalar da projeção:
lambda = lang<= u,vrang<=|v|^2 = -12a1 -16a316a1 +64a3 = -3a1+4a34,(a1+4a3)

Passo 5

Calcular o vetor projeção lambda,v:
lambda,v = -3a1+4a34(a1+4a3),(4,0,-8,0) = l(-tfrac3a1+4a3a1+4a3,;0,;tfrac2(3a1+4a3)a1+4a3,;0r)

Passo 6

Subtrair de u:
u - lambda v = l(-3,1,2,-1r) - l(-tfrac3a1+4a3a1+4a3,0,tfrac2(3a1+4a3)a1+4a3,0r)

Passo 7

Simplificar coordenada a coordenada, colocando tudo sobre o mesmo denominador a1+4a3:
x1&=-3 + 3a1+4a3a1+4a3 =-3(a1+4a3)+(3a1+4a3)a1+4a3 =-12a3+4a3a1+4a3 =-8a3a1+4a3, x2&=1, x3&=2 - 2(3a1+4a3)a1+4a3 =2(a1+4a3)-2(3a1+4a3)a1+4a3 =-4a1a1+4a3, x4&=-1

Resposta

u - lang<= u,vrang<=|v|^2,v =l(-tfrac8a3a1+4a3,;1,;-tfrac4a1a1+4a3,;-1r)

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