Sejam as matrizes D=[rr1 & 0 0 & -1] e P=[rrcos x & sen x -sen x & cos x]. Calcule: PP^t e P^t P.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
D=1 & 0 0 & -1 e P=cos x & sin x -sin x & cos x,
e pede para calcular PP^t e P^tP.
O conteúdo aqui é produto de matrizes e transposta, lembrando que a matriz P é uma matriz de rotação e, por isso, é ortogonal (ou seja, P^t=P^-1).

Passo 2

Vamos primeiro escrever a transposta de P. Troca-se linhas por colunas:
P^t = cos x & -sin x sin x & cos x

Passo 3

Agora calculamos PP^t usando multiplicação linha-coluna:
P,P^t =cos x & sin x -sin x & cos x cos x & -sin x sin x & cos x = cos^2 x+sin^2 x & -cos x,sin x+sin x,cos x [4pt] -sin x,cos x+cos x,sin x & sin^2 x+cos^2 x =1&00&1 ]

Passo 4

De modo análogo, calculamos P^tP:
P^tP =cos x & -sin x sin x & cos x cos x & sin x -sin x & cos x = cos^2 x+sin^2 x & cos x,sin x-sin x,cos x [4pt] sin x,cos x-cos x,sin x & sin^2 x+cos^2 x =1&00&1 ]

Resposta

PP^t = I2 e P^tP = I2

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