Para cada proposição abaixo, dê um exemplo e um contra-exemplo, se existirem (a variável livre está indicada entre parênteses):
(n in Z) Existe m in N tal que n^2 >= m

Passo 1

O enunciado define, para um inteiro livre n, a proposição
P(n):;exists,minN tal que n^2>= m
Precisamos dar um valor de n em que P(n) seja verdadeira (exemplo) e um valor de n em que P(n) seja falsa (contra-exemplo).

Passo 2

Observe que em geral N=1,2,3,dots. Se |n|>=1, então
n^2>=1,
de modo que basta tomar m=1 (ou qualquer m<= n^2) para garantir n^2>= m. Assim, para todo ninZ com |n|>=1, P(n) é verdadeira.

Passo 3

Exemplo de n que torna P(n) verdadeira:
Escolha n=2. Então 2^2=4 e podemos, por exemplo, tomar
m=3,
pois 4 >= 3. Logo exists minN tal que 2^2>= m, isto é, P(2) é verdadeira.

Passo 4

Para encontrar um contra-exemplo, procuramos n tal que não exista minN com n^2>= m. Se n=0, então
0^2=0
e não há nenhum minN (mínimo 1) satisfazendo 0>= m. Portanto P(0) é falsa, e n=0 é um contra-exemplo.

Resposta

Exemplo (proposição verdadeira): n=2 com, por exemplo, m=3.
Contra-exemplo (proposição falsa): n=0.

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