Para cada proposição abaixo, dê um exemplo e um contra-exemplo, se existirem (a variável livre está indicada entre parênteses):
Existe
tal que
Passo 1
O enunciado define, para um inteiro livre
, a proposição
Precisamos dar um valor de
em que
seja verdadeira (exemplo) e um valor de
em que
seja falsa (contra-exemplo).
Passo 2
Observe que em geral
. Se
, então
de modo que basta tomar
(ou qualquer
) para garantir
. Assim, para todo
com
,
é verdadeira.
Passo 3
Exemplo de
que torna
verdadeira:
Escolha . Então
e podemos, por exemplo, tomar
Escolha
pois
. Logo
tal que
, isto é,
é verdadeira.
Passo 4
Para encontrar um contra-exemplo, procuramos
tal que não exista
com
. Se
, então
e não há nenhum
(mínimo
) satisfazendo
. Portanto
é falsa, e
é um contra-exemplo.
Resposta
Exemplo (proposição verdadeira):
com, por exemplo,
.
Contra-exemplo (proposição falsa): .
Contra-exemplo (proposição falsa):