Para cada proposição abaixo, dê um exemplo e um contra-exemplo, se existirem (a variável livre está indicada entre parênteses):
Existe
tal que
Passo 1
O enunciado define a proposição
: “existe
tal que
”,
com livre em
. Aqui usamos a ideia de quantificador existencial e o princípio arquimediano, que diz que
não é limitada acima.
com
Passo 2
Para dar um exemplo, basta escolher um
e exibir um
que o ultrapasse.
Por exemplo, se
Por exemplo, se
podemos tomar
pois
. Logo
é verdadeira.
Passo 3
Para haver contra-exemplo precisaríamos de algum
tal que não exista
com
. Mas o princípio arquimediano garante que, para qualquer
, sempre há um
maior. Portanto não existe contra-exemplo.
Resposta
Exemplo:
com
porque
.
Contra-exemplo: não existe, pois para todo há
tal que
.
Contra-exemplo: não existe, pois para todo