Para cada proposição abaixo, dê um exemplo e um contra-exemplo, se existirem (a variável livre está indicada entre parênteses):
(x in R) Existe n in N tal que n>x

Passo 1

O enunciado define a proposição
P(x): “existe ninN tal que n>x”,
com x livre em R. Aqui usamos a ideia de quantificador existencial e o princípio arquimediano, que diz que N não é limitada acima.

Passo 2

Para dar um exemplo, basta escolher um xinR e exibir um ninN que o ultrapasse.
Por exemplo, se
x=2,5,
podemos tomar
n=3,
pois 3>2,5. Logo P(2,5) é verdadeira.

Passo 3

Para haver contra-exemplo precisaríamos de algum x0inR tal que não exista ninN com n>x0. Mas o princípio arquimediano garante que, para qualquer x, sempre há um ninN maior. Portanto não existe contra-exemplo.

Resposta

Exemplo:
x=2,5 com n=3 porque 3>2,5.
Contra-exemplo: não existe, pois para todo xinR ninN tal que n>x.

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