Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
x=1-y^2, x=y^2-1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas x=1-y^2 e x=y^2-1 e então calcular sua área. Vamos usar integração em relação a y, pois as curvas estão dadas como funções x=f(y).

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, achamos os pontos de interseção resolvendo 1-y^2=y^2-1. Isso dá
1-y^2=y^2-1
2y^2=2Rightarrow y^2=1Rightarrow y=pm1

Passo 3

Precisamos determinar qual curva é à direita (maior x) e qual é à esquerda entre y=-1 e y=1. Para y=0, temos x=1 na primeira e x=-1 na segunda, logo:
xdireita=1-y^2, xesquerda=y^2-1

Passo 4

A área da região é dada por
A=integraly=-1^1l[,(1-y^2)-(y^2-1)r],dy

Passo 5

Dentro da integral,
(1-y^2)-(y^2-1)=2-2y^2

Passo 6

Logo
A=integral-1^1(2-2y^2),dy=2integral-1^1(1-y^2),dy

Passo 7

Avaliar essa integral:
2integral-1^1(1-y^2),dy=2l[y-tfracy^33r]-1^1=2l[(1-tfrac13)-(-1+tfrac13)r]=tfrac83

Resposta

83

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