Para cada um dos PVIs abaixo:

Esboce membros da família das curvas integrais dessas EDOs sem resolvê-las.

Passo 1

Temos a EDO linear de 1ª ordem dydt+t,y=-1 com condição inicial y(1)=0. O que queremos é esboçar qualitativamente a família de curvas integrais sem resolver explicitamente a equação, usando o campo de direções e isoclinas.

Passo 2

Reescrevendo o campo de direções, obtemos
dydt=-t,y-1
Para achar a isoclina de declive zero, impomos
-t,y-1=0
obtendo
y=-1t
Esta curva no plano (t,y) separa regiões com dydt>0 (quando t,y< -1) de regiões com dydt<0 (quando t,y>-1).

Passo 3

Desenhe no plano a curva y=-1/t. Em cada ponto desta isoclina, o declive é nulo. Para regiões acima dela, posicionamos pequenos segmentos inclinados para baixo; para regiões abaixo, segmentos inclinados para cima. Quanto maior |t,y|, maior o módulo do declive.

Passo 4

Para esboçar membros da família, escolha várias condições iniciais na reta t=1, por exemplo y(1)=0,,1,,-2. Em cada ponto (1,C) comece uma curva seguindo o sentido indicado pelo campo de direções (setas).
Em particular, a curva de y(1)=0 parte de (1,0) com declive inicial dydt|(1,0)=-1, desce atravessando a isoclina e depois tende a se aproximar dela quando t cresce.

Resposta

A família de curvas integrais tem formato de “S” em torno da isoclina y=-1/t. Essa isoclina divide o plano em regiões de declive positivo (abaixo dela) e negativo (acima). Cada curva cruza a reta t=1 em (1,C) correspondente à condição inicial y(1)=C. A curva para y(1)=0 inicia em (1,0) com declive -1, desce até cruzar a isoclina e depois se aproxima assintoticamente dela.

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