Para cada uma das quantidades listadas abaixo, indique as dimensões usando os sistemas MLtT e FLtT ( \mathrm{M}= massa, \mathrm{L}= comprimento, \mathrm{t}= tempo, \mathrm{T}= temperatura ). Também forneça as unidades no sistema SI e no sistema inglês:
tensão normal

Passo 1

O que o enunciado pede: indicar para a quantidade “tensão normal” (ou tensão normal em uma seção, isto é, o “stress” normal) as dimensões nos sistemas MLtT e FLtT e fornecer as unidades no Sistema Internacional (SI) e no sistema inglês.
Informações relevantes que vamos usar (definições que o enunciado implica):
  • A tensão normal é definida como força por unidade de área.
  • Força, pela segunda lei de Newton, tem dimensão massa vezes aceleração.

Passo 2

Definir matematicamente a grandeza que vamos analisar. Seja a tensão normal \sigma. A definição é
\sigma=\frac{F}{A},
onde F é uma força e A é uma área. Esta relação é a base para obter as dimensões e unidades.

Passo 3

Dimensão da força (lembrando a relação \,F=ma\,). Seja m massa, a aceleração; a aceleração tem dimensão de comprimento por tempo ao quadrado. Assim:
[a]=\mathrm{L}\,\mathrm{t}^{-2}.
Portanto a dimensão da força no sistema MLtT é
[F]=\mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{t}^{-2}.

Passo 4

Dimensão da área: é comprimento ao quadrado, logo
[A]=\mathrm{L}^2.

Passo 5

Dividindo dimensão da força pela dimensão da área para obter a dimensão da tensão normal no sistema MLtT:
[\sigma]_{\text{MLtT}}=\frac{[F]}{[A]}=\frac{\mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{t}^{-2}}{\mathrm{L}^2}=\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{t}^{-2}.
Expliquei passo a passo: peguei a definição \sigma=F/A, usei [F]=\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}^{-2} (da lei F=ma) e [A]=\mathrm{L}^2, e então simplifiquei.

Passo 6

Agora no sistema FLtT (onde a base é a força \mathrm{F} em vez da massa \mathrm{M}). Usando diretamente \sigma=F/A temos
[\sigma]_{\text{FLtT}}=\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{L}^2}=\mathrm{F}\,\mathrm{L}^{-2}.
Observação: isto é consistente com o resultado MLtT porque \mathrm{F}=\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}^{-2}, então substituindo dá novamente \mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{t}^{-2}.

Passo 7

Unidades no Sistema Internacional (SI). A unidade de força é o newton \mathrm{N} e de área é o metro quadrado \mathrm{m}^2. Portanto a unidade da tensão é
\text{SI: }\mathrm{Pa}=\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-2}.
Escrevendo em unidades base SI (kg, m, s):
\mathrm{Pa}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}.
Também é comum usar quilopascal \mathrm{kPa}, megapascal \mathrm{MPa} etc., dependendo da escala.

Passo 8

Unidades no sistema inglês. A unidade usual para tensão/pressão é a libra-força por polegada quadrada:
\text{sistema inglês: }\mathrm{psi}=\mathrm{lbf}\,\mathrm{in}^{-2}.ê
Para conversão prática, é útil saber que
1\\ \mathrm{psi}\approx 6894{,}76\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

\text{Dimensão (MLtT): }\mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{t}^{-2}ã
\text{Dimensão (FLtT): }\mathrm{F}\,\mathrm{L}^{-2}ã
\text{Unidade SI: }\mathrm{Pa}=\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-2}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}
\text{Unidade inglesa: }\mathrm{psi}=\mathrm{lbf}\,\mathrm{in}^{-2}

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