Para cada uma das quantidades listadas abaixo, indique as dimensões usando os sistemas MLtT e FLtT (
massa,
comprimento,
tempo,
temperatura ). Também forneça as unidades no sistema SI e no sistema inglês:
viscosidade cinemática
viscosidade cinemática
Passo 1
O que o exercício pede e o que temos de dado:\n
- Pedem as dimensões da viscosidade cinemática nos dois sistemas base:
(onde massa, comprimento, tempo, temperatura) e (onde força, as demais iguais).\n - Pedem também as unidades no sistema SI e no sistema inglês.\n
Vou trabalhar sem assumir que já sabes a fórmula: vou dar a definição física da viscosidade cinemática, obter as dimensões a partir de grandezas básicas e depois apresentar as unidades pedidas.
Passo 2
Definição e ideia física (passo importante para a prova, explicado com calma).\n
- Viscosidade dinâmica (também chamada simplesmente de viscosidade), escrevemos
. É a propriedade que relaciona tensão de cisalhamento (força por área) com a taxa de deformação (gradiente de velocidade). A lei de Newton para fluidos viscosos dá:
onde
é a tensão de cisalhamento (força sobre área) e
é a taxa de variação da velocidade com a distância (velocidade dividida por comprimento).\n
- Viscosidade cinemática, denotada por
, é definida como
onde
é a densidade do fluido (massa por volume). Intuição:
mede a “viscosidade efetiva” dividida pela inércia por unidade de volume; tem dimensão de área por tempo (às vezes chamado “difusividade de momento”).
Passo 3
Dimensões em
— passo a passo das contas.\n
- Dimensão de tensão (pressão / tensão de cisalhamento): força sobre área. A força tem dimensão
, área tem dimensão . Logo
- Dimensão do gradiente de velocidade
: velocidade é , dividir por comprimento dá
- Da lei
, isolando obtemos
- Dimensão da densidade
: massa por volume,
- Finalmente,
tem dimensão
Colocando todos os expoentes (incluindo as bases que ficam com expoente zero), em
fica:
Passo 4
Dimensões no sistema
(usar força em vez de massa).\n
- Relação entre as bases: a força tem dimensão
. Assim pode-se escrever se preciso.\n - Como encontramos
e essa expressão não envolve massa, a mudança de base não altera os expoentes de e . Em termos das bases :
(ou simplesmente
, mas escrevi com expoentes para deixar explícito que
e
não aparecem).
Passo 5
Unidades no sistema SI e no sistema inglês, com comentários úteis.\n
- Do resultado dimensional
, a unidade SI natural é
Observação prática: em fluidodinâmica é muito comum usar o centistoke (
) e o stoke (
):
- No sistema inglês (imperial) a unidade correspondente é
Se for útil converter,
.
Resposta
SI:
Inglês: