Para cada uma das quantidades listadas abaixo, indique as dimensões usando os sistemas MLtT e FLtT ( \mathrm{M}= massa, \mathrm{L}= comprimento, \mathrm{t}= tempo, \mathrm{T}= temperatura ). Também forneça as unidades no sistema SI e no sistema inglês:
viscosidade cinemática

Passo 1

O que o exercício pede e o que temos de dado:\n
  • Pedem as dimensões da viscosidade cinemática nos dois sistemas base: \mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T} (onde \mathrm{M}= massa, \mathrm{L}= comprimento, \mathrm{t}= tempo, \mathrm{T}= temperatura) e \mathrm{F}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T} (onde \mathrm{F}= força, as demais iguais).\n
  • Pedem também as unidades no sistema SI e no sistema inglês.\n
    Vou trabalhar sem assumir que já sabes a fórmula: vou dar a definição física da viscosidade cinemática, obter as dimensões a partir de grandezas básicas e depois apresentar as unidades pedidas.

Passo 2

Definição e ideia física (passo importante para a prova, explicado com calma).\n
  • Viscosidade dinâmica (também chamada simplesmente de viscosidade), escrevemos \mu. É a propriedade que relaciona tensão de cisalhamento (força por área) com a taxa de deformação (gradiente de velocidade). A lei de Newton para fluidos viscosos dá:
\tau = \mu\frac{\partial u}{\partial y},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (força sobre área) e \partial u/\partial y é a taxa de variação da velocidade com a distância (velocidade dividida por comprimento).\n
  • Viscosidade cinemática, denotada por \nu, é definida como
\nu = \frac{\mu}{\rho},
onde \rho é a densidade do fluido (massa por volume). Intuição: \nu mede a “viscosidade efetiva” dividida pela inércia por unidade de volume; tem dimensão de área por tempo (às vezes chamado “difusividade de momento”).

Passo 3

Dimensões em \mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T} — passo a passo das contas.\n
  1. Dimensão de tensão (pressão / tensão de cisalhamento): força sobre área. A força tem dimensão \mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}^{-2}, área tem dimensão \mathrm{L}^2. Logo
[\tau]=\frac{\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}^{-2}}{\mathrm{L}^2}=\mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{t}^{-2}.
  1. Dimensão do gradiente de velocidade \partial u/\partial y: velocidade é \mathrm{L}\mathrm{t}^{-1}, dividir por comprimento \mathrm{L}
\left[\frac{\partial u}{\partial y}\right]=\mathrm{t}^{-1}.
  1. Da lei \tau=\mu(\partial u/\partial y), isolando \mu obtemos
[\mu]=\frac{[\tau]}{[\partial u/\partial y]}=\frac{\mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{t}^{-2}}{\mathrm{t}^{-1}}=\mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{t}^{-1}.
  1. Dimensão da densidade \rho: massa por volume,
[\rho]=\mathrm{M}\mathrm{L}^{-3}.
  1. Finalmente, \nu=\mu/\rho tem dimensão
[\nu]=\frac{\mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{t}^{-1}}{\mathrm{M}\mathrm{L}^{-3}}=\mathrm{L}^2\mathrm{t}^{-1}.
Colocando todos os expoentes (incluindo as bases que ficam com expoente zero), em \mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T} fica:
[\nu]=\mathrm{M}^0\mathrm{L}^2\mathrm{t}^{-1}\mathrm{T}^0.

Passo 4

Dimensões no sistema \mathrm{F}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T} (usar força em vez de massa).\n
  • Relação entre as bases: a força tem dimensão \mathrm{F}=\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}^{-2}. Assim pode-se escrever \mathrm{M}=\mathrm{F}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{t}^2 se preciso.\n
  • Como encontramos [\nu]=\mathrm{L}^2\mathrm{t}^{-1} e essa expressão não envolve massa, a mudança de base não altera os expoentes de \mathrm{L} e \mathrm{t}. Em termos das bases \mathrm{F},\mathrm{L},\mathrm{t},\mathrm{T}:
[\nu]=\mathrm{F}^0\mathrm{L}^2\mathrm{t}^{-1}\mathrm{T}^0.
(ou simplesmente \mathrm{L}^2\mathrm{t}^{-1}, mas escrevi com expoentes para deixar explícito que \mathrm{F} e \mathrm{T} não aparecem).

Passo 5

Unidades no sistema SI e no sistema inglês, com comentários úteis.\n
  • Do resultado dimensional \mathrm{L}^2\mathrm{t}^{-1}, a unidade SI natural é
\text{SI: }\mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-1}.
Observação prática: em fluidodinâmica é muito comum usar o centistoke ( \mathrm{cSt}) e o stoke ( \mathrm{St}):
1\\ \mathrm{St} = 1\\ \mathrm{cm}^2\mathrm{s}^{-1}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-1}, \qquad 1\\ \mathrm{cSt}=10^{-2}\\ \mathrm{St}=10^{-6}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-1}.
  • No sistema inglês (imperial) a unidade correspondente é
\text{Inglês: }\mathrm{ft}^2\mathrm{s}^{-1}.ê
Se for útil converter, 1\\ \mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-1}\approx 10{,}7639\\ \mathrm{ft}^2\mathrm{s}^{-1}.

Resposta

\mathrm{M}^0\mathrm{L}^2\mathrm{t}^{-1}\mathrm{T}^0\n
\mathrm{F}^0\mathrm{L}^2\mathrm{t}^{-1}\mathrm{T}^0\n
SI: \mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-1}\n
Inglês: \mathrm{ft}^2\mathrm{s}^{-1}

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