Para cada uma das quantidades listadas abaixo, indique as dimensões usando os sistemas MLtT e FLtT ( \mathrm{M}= massa, \mathrm{L}= comprimento, \mathrm{t}= tempo, \mathrm{T}= temperatura ). Também forneça as unidades no sistema SI e no sistema inglês:
aceleração

Passo 1

O que o exercício pede: para a grandeza “aceleração” indicar
  • as dimensões nas duas bases solicitadas: \mathrm{MLtT} (bases M,L,t,T) e \mathrm{FLtT} (bases F,L,t,T, onde F = força);
  • as unidades no sistema SI e no sistema inglês.
    Informações dadas: definições das bases ( M = massa, L = comprimento, t = tempo, T = temperatura, e F = força quando usado).

Passo 2

Definição e fórmula da aceleração (aula rápida e direta). A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em forma matemática:
a=\frac{\Delta v}{\Delta t},
ou, em cálculo,
a=\frac{dv}{dt}.
Aqui v é velocidade e t é tempo. A velocidade tem dimensão de comprimento por tempo; por isso vamos usar isso para obter a dimensão da aceleração.

Passo 3

Dimensão da velocidade (passo intermédio importante). A velocidade v mede distância por tempo, logo sua dimensão no sistema \mathrm{MLtT} é
[v]=\mathrm{L}\,\mathrm{t}^{-1}.
Explicação: \mathrm{L} representa comprimento; dividir por tempo introduz o fator \mathrm{t}^{-1}.

Passo 4

Dimensão da aceleração no sistema MLtT. Usando a=\Delta v/\Delta t e a dimensão de v,
[a]=[v]\,[t]^{-1}=(\mathrm{L}\,\mathrm{t}^{-1})\mathrm{t}^{-1}=\mathrm{L}\,\mathrm{t}^{-2}.
Se escrevermos como potência de cada base em \mathrm{MLtT}, temos
[a]=\mathrm{M}^{0}\,\mathrm{L}^{1}\,\mathrm{t}^{-2}\,\mathrm{T}^{0}.
Comentário didático: massa M e temperatura T não aparecem na definição de aceleração, por isso expoentes zero.

Passo 5

Dimensão da aceleração no sistema FLtT (usar força como base). Primeiro, relação entre F e M: pela 2ª lei de Newton vale \,F=ma, portanto a dimensão de F em termos de M,L,t é
[F]=\mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{t}^{-2}.
Invertendo esta relação para expressar \mathrm{M} em função de F,L,t:
\mathrm{M}=[F]\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{t}^{2}=\mathrm{F}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{t}^{2}.
Agora, como a aceleração não depende de massa nem de temperatura, ao expressá-la na base \mathrm{F},\mathrm{L},\mathrm{t},\mathrm{T} ela permanece
[a]=\mathrm{L}\,\mathrm{t}^{-2}.
Escrito com todas as bases da notação \mathrm{FLtT} (mostrando expoentes, inclusive para F e T):
[a]=\mathrm{F}^{0}\,\mathrm{L}^{1}\,\mathrm{t}^{-2}\,\mathrm{T}^{0}.
Explicação: mesmo trocando a base M por F, a aceleração continua sendo comprimento por tempo ao quadrado, pois F aparece apenas quando a massa entra na relação.

Passo 6

Unidades práticas (SI e inglês) e observação numérica útil. A unidade SI de aceleração é metro por segundo ao quadrado; em notação:
\text{SI: }\mathrm{m\;s^{-2}}.
A unidade comum no sistema inglês é pé por segundo ao quadrado:
\text{sistema inglês: }\mathrm{ft\;s^{-2}}.ê
Comentário motivador: um exemplo prático é a aceleração da gravidade padrão na Terra, aproximadamente \,9{,}80665\\ \mathrm{m\;s^{-2}}\,, que pode ser usada como referência na prova.

Resposta

MLtT: \mathrm{M}^{0}\,\mathrm{L}^{1}\,\mathrm{t}^{-2}\,\mathrm{T}^{0} = \mathrm{L}\,\mathrm{t}^{-2}
FLtT: \mathrm{F}^{0}\,\mathrm{L}^{1}\,\mathrm{t}^{-2}\,\mathrm{T}^{0} = \mathrm{L}\,\mathrm{t}^{-2}
SI (unidade): \mathrm{m\;s^{-2}}
Sistema inglês (unidade): \mathrm{ft\;s^{-2}}

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