Para cada uma das quantidades listadas abaixo, indique as dimensões usando os sistemas MLtT e FLtT ( \mathrm{M}= massa, \mathrm{L}= comprimento, \mathrm{t}= tempo, \mathrm{T}= temperatura ). Também forneça as unidades no sistema SI e no sistema inglês:
taxa de deformação

Passo 1

O enunciado pede, para a grandeza “taxa de deformação”:
  • indicar as dimensões usando os sistemas \mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T} e \mathrm{F}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T} (onde \mathrm{M}= massa, \mathrm{L}= comprimento, \mathrm{t}= tempo, \mathrm{T}= temperatura e \mathrm{F}= força);
  • fornecer as unidades no sistema SI e no sistema inglês.
Não há outros dados numéricos. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

O que é “taxa de deformação” de maneira simples e prática?
  • Primeiro, a “deformação” (ou “strain”) costuma ser medida como variação relativa de comprimento. Uma forma comum é a deformação uniaxial (engenharia):
\varepsilon=\frac{\Delta L}{L},
onde \Delta L é a variação do comprimento e L é o comprimento original.
  • Repare que \varepsilon é uma razão de comprimentos; portanto é adimensional (sem dimensão). Isso é importante para descobrir a dimensão da taxa de deformação.

Passo 3

Definição matemática da taxa de deformação:
  • A taxa de deformação é a derivada temporal da deformação:
\dot{\varepsilon}=\frac{d\varepsilon}{dt}.
  • Como \varepsilon é adimensional, a derivada em relação ao tempo tem dimensão “por tempo”. Em palavras: a taxa de deformação mede quanto a deformação muda por unidade de tempo.

Passo 4

Converter a razão acima em termos das dimensões bases:
  • A deformação \varepsilon tem dimensão adimensional, isto é \mathrm{M}^0\mathrm{L}^0\mathrm{t}^0\mathrm{T}^0.
  • Ao derivar em relação ao tempo obtemos uma potência de tempo negativa:
\text{dim}(\dot{\varepsilon})=\mathrm{t}^{-1}.
  • Escrevendo explicitamente no sistema \mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T}:
\text{dim}_{\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T}}(\dot{\varepsilon})=\mathrm{M}^{0}\mathrm{L}^{0}\mathrm{t}^{-1}\mathrm{T}^{0}.

Passo 5

Expressão no sistema \mathrm{F}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T}:
  • No sistema com base \mathrm{F},\mathrm{L},\mathrm{t},\mathrm{T} a variável tempo é a mesma base \mathrm{t}. A taxa de deformação não envolve força nem comprimento em dimensão, apenas tempo inverso.
  • Portanto:
\text{dim}_{\mathrm{F}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T}}(\dot{\varepsilon})=\mathrm{F}^{0}\mathrm{L}^{0}\mathrm{t}^{-1}\mathrm{T}^{0}.

Passo 6

Unidades no SI e no sistema inglês (prático e direto):
  • A unidade natural é “por segundo”, isto é \mathrm{s}^{-1}. No SI usa-se:
\text{SI: }\mathrm{s}^{-1}.
  • No sistema inglês tradicional a unidade de tempo frequentemente usada também é o segundo, logo a unidade é a mesma:
\text{sistema inglês: }\mathrm{s}^{-1}\\ (\text{ou }1/\mathrm{s}).ê
  • Observação prática: às vezes usa-se \mathrm{min}^{-1} (por minuto) ou \mathrm{h}^{-1} (por hora) por conveniência, mas a unidade fundamental é \mathrm{s}^{-1}.

Passo 7

Exemplo numérico curtinho para fixar (para você poder fazer rápido numa prova):
  • Suponha uma barra com L=1{,}000\\ \mathrm{mm} que aumenta \Delta L=0{,}5\\ \mathrm{mm} em \Delta t=2\\ \mathrm{s}.
  • Deformação aproximada: \varepsilon\approx\frac{0{,}5}{1000}=0{,}0005.
  • Taxa média de deformação: \dot{\varepsilon}\approx\frac{0{,}0005}{2\\ \mathrm{s}}=0{,}00025\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Isso mostra como calcular rápido na prova: sempre resulta em um número com unidade \mathrm{s}^{-1}.

Resposta

\text{dim}_{\mathrm{M}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T}}=\mathrm{M}^{0}\mathrm{L}^{0}\mathrm{t}^{-1}\mathrm{T}^{0}
\text{dim}_{\mathrm{F}\mathrm{L}\mathrm{t}\mathrm{T}}=\mathrm{F}^{0}\mathrm{L}^{0}\mathrm{t}^{-1}\mathrm{T}^{0}
Unidade (SI): \mathrm{s}^{-1}
Unidade (sistema inglês): \mathrm{s}^{-1}

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