Resolva o PVI usando transformada de 1 -aplace e a funçino degrau unitario.
y^prime prime+9 y=g(t) ; y(0)=0 ; y^prime(0)=0
sendo g(t)=c0 ; 0 <= t<5 (t-3) ; 5 <= t<10 1 ; t >= 10 (Valor-2,9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) usando a Transformada de Laplace e a função degrau unitário. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
y^prime prime + 9 y = g(t)
com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y^{\prime}(0) = 0 $. A função $ g(t) $ é definida por partes usando a função degrau unitário:
y(0) = 0
Vamos precisar usar a Transformada de Laplace para transformar a equação diferencial no domínio de frequência, resolver para $ Y(s) $, e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Ly^prime prime = s^2 Y(s) - s y(0) - y^prime(0)
E como $ y(0) = 0 $ e $ y^{\prime}(0) = 0 $, temos:
y(0) = 0
A Transformada de Laplace da equação fica:
y^prime(0) = 0

Passo 3

Agora, vamos tratar a Transformada de Laplace de $ g(t) $. Como $ g(t) $ é uma função definida por partes, vamos expressá-la usando as funções degrau unitário (Heaviside):
g(t)
Simplificando:
g(t)

Passo 4

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo de $ g(t) $:
  1. Para $ (t - 3) u(t - 5) $:
g(t)
  1. Para $ -(t - 3) u(t - 10) $:
(t - 3) u(t - 5)
  1. Para $ u(t - 10) $:
L(t - 3) u(t - 5) = e^-5s Lt = e^-5s ( 1s^2 )
Somando todos:
-(t - 3) u(t - 10)

Passo 5

Voltando à equação transformada:
s^2 Y(s) + 9 Y(s) = e^-5ss^2 - e^-10ss^2 + e^-10ss
Fatorando $ Y(s) $:
Y(s)
Isolando $ Y(s) $:
Y(s) (s^2 + 9) = e^-5ss^2 - e^-10ss^2 + e^-10ss

Passo 6

Agora, vamos decompor cada termo para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace. Observamos termos da forma $ \frac{e{-as}}{sn (s^2 + b^2)} $, que correspondem a funções com atrasos multiplicados por polinômios.
Vamos tratar cada termo separadamente:
  1. $ \frac{e{-5s}}{s2 (s^2 + 9)} $
  2. $ -\frac{e{-10s}}{s2 (s^2 + 9)} $
  3. $ \frac{e^{-10s}}{s (s^2 + 9)} $

Passo 7

Utilizando a propriedade de atraso da Transformada de Laplace:
L^-1e^-as F(s) = f(t - a) u(t - a)
E conhecendo as transformadas inversas padrão:
L^-11s^2 (s^2 + 9) = 19 ( sin(3t) - 3t )
L^-11s (s^2 + 9) = 19 (1 - cos(3t))

Passo 8

Aplicando as transformadas inversas a cada termo:
  1. Para $ \frac{e{-5s}}{s2 (s^2 + 9)} $:
e^-5ss^2 (s^2 + 9)
  1. Para $ -\frac{e{-10s}}{s2 (s^2 + 9)} $:
L^-1e^-5ss^2 (s^2 + 9) = 19 [ ( sin(3(t - 5)) - 3(t - 5) ) ] u(t - 5)
  1. Para $ \frac{e^{-10s}}{s (s^2 + 9)} $:
-e^-10ss^2 (s^2 + 9)

Passo 9

Juntando todos os termos, a solução $ y(t) $ fica:
y(t)

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 19 ( sin(3(t - 5)) - 3(t - 5) ) u(t - 5) - 19 ( sin(3(t - 10)) - 3(t - 10) ) u(t - 10) + 19 ( 1 - cos(3(t - 10)) ) u(t - 10)

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