Resolva o PVI usando transformada de 1 -aplace e a funçino degrau unitario.
sendo
(Valor-2,9)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) usando a Transformada de Laplace e a função degrau unitário. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y^{\prime}(0) = 0 $. A função $ g(t) $ é definida por partes usando a função degrau unitário:
Vamos precisar usar a Transformada de Laplace para transformar a equação diferencial no domínio de frequência, resolver para $ Y(s) $, e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
E como $ y(0) = 0 $ e $ y^{\prime}(0) = 0 $, temos:
A Transformada de Laplace da equação fica:
Passo 3
Agora, vamos tratar a Transformada de Laplace de $ g(t) $. Como $ g(t) $ é uma função definida por partes, vamos expressá-la usando as funções degrau unitário (Heaviside):
Simplificando:
Passo 4
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo de $ g(t) $:
- Para $ (t - 3) u(t - 5) $:
- Para $ -(t - 3) u(t - 10) $:
- Para $ u(t - 10) $:
Somando todos:
Passo 5
Voltando à equação transformada:
Fatorando $ Y(s) $:
Isolando $ Y(s) $:
Passo 6
Agora, vamos decompor cada termo para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace. Observamos termos da forma $ \frac{e{-as}}{sn (s^2 + b^2)} $, que correspondem a funções com atrasos multiplicados por polinômios.
Vamos tratar cada termo separadamente:
- $ \frac{e{-5s}}{s2 (s^2 + 9)} $
- $ -\frac{e{-10s}}{s2 (s^2 + 9)} $
- $ \frac{e^{-10s}}{s (s^2 + 9)} $
Passo 7
Utilizando a propriedade de atraso da Transformada de Laplace:
E conhecendo as transformadas inversas padrão:
Passo 8
Aplicando as transformadas inversas a cada termo:
- Para $ \frac{e{-5s}}{s2 (s^2 + 9)} $:
- Para $ -\frac{e{-10s}}{s2 (s^2 + 9)} $:
- Para $ \frac{e^{-10s}}{s (s^2 + 9)} $:
Passo 9
Juntando todos os termos, a solução $ y(t) $ fica:
Resposta
A solução do PVI é: