Em cada uma das questões 12-13, são dadas as coordenadas de vetores u, v e w com relação a um sistema ortogonal de coordenadas, positivamente orientado. Calcule o volume do poliedro P que têm arestas A B, A C, A D tais que A B=u, A C=v, A D=w, nos seguintes casos:
P é um tetraedro, u=(2,3,5), v=(1,2,3) e w=(6,1,1).

Passo 1

O enunciado dá três vetores u=(2,3,5), v=(1,2,3) e w=(6,1,1). O poliedro P é um tetraedro com arestas a partir de A dadas por esses vetores. Para achar seu volume, vamos usar o produto misto e lembrar que o volume de um tetraedro é um sexto do volume do paralelepípedo determinado pelos mesmos vetores.

Passo 2

O produto misto ucdot(vtimesw) pode ser calculado como o determinante da matriz cujas colunas são as componentes de u, v e w. Montamos
det 2 & 1 & 6 3 & 2 & 1 5 & 3 & 1

Passo 3

Expandindo esse determinante pela primeira linha, temos
det = 2,(2cdot1 - 1cdot3) ;-; 1,(3cdot1 - 1cdot5) ;+; 6,(3cdot3 - 2cdot5)
Calculemos os termos internos: 2cdot1 - 1cdot3 = -1, 3cdot1 - 1cdot5 = -2 e 3cdot3 - 2cdot5 = -1.

Passo 4

Substituindo esses valores,
det = 2cdot(-1) ;-; 1cdot(-2) ;+; 6cdot(-1) = -2 + 2 - 6 = -6
O valor absoluto do produto misto é l|-6r| = 6, que é o volume do paralelepípedo.

Passo 5

Para obter o volume do tetraedro, dividimos por 6:
V = 16,l|ucdot(vtimesw)r| = 16cdot6 = 1

Resposta

O volume do tetraedro P é 1 unidade cúbica.

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