Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: duas raizes reais distintas.
y^prime prime+y^prime-12 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 12y = 0
Este tipo de equação usamos a técnica de substituir uma solução do tipo y=e^rx e obter a equação característica.

Passo 2

Assumimos y=e^rx. Então
y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx
Substituindo na equação diferencial, como e^rxneq0, obtemos a equação característica
r^2 + r - 12 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 + r - 12 = 0
calculamos o discriminante De<a = 1^2 - 4cdot1cdot(-12) = 49. As raízes são
r = -1 pm raiz492 = -1 pm 72,
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r1 = 3, r2 = -4

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x,
isto é,
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-4x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-4x

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