Calcule os integrais impróprios seguintes
integral0^infty (x^2+1) d x(x^2+4)(x^2+9)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral impróprio
integral0^infty x^2+1(x^2+4)(x^2+9),dx
O conteúdo envolve decomposição em frações parciais e a fórmula conhecida
integral0^inftydxx^2+a^2=pi2a

Passo 2

Vamos escrever
x^2+1(x^2+4)(x^2+9) =Ax^2+4+Bx^2+9
Multiplicando por (x^2+4)(x^2+9) obtemos
x^2+1 = A(x^2+9) + B(x^2+4) = (A+B)x^2 + (9A+4B)
Comparando coeficientes temos o sistema
A+B=1, 9A+4B=1
Da primeira equação A=1-B. Substituindo na segunda,
9(1-B)+4B=1 ;Longrightarrow; 9-9B+4B=1 ;Longrightarrow; 5B=8 ;Longrightarrow; B=85,
A=1-85=-35

Passo 3

Substituindo de volta no integrando, fica
x^2+1(x^2+4)(x^2+9) =-35,1x^2+4 +85,1x^2+9
Logo o integral se separa em
integral0^inftyx^2+1(x^2+4)(x^2+9),dx =-35integral0^inftydxx^2+4 +85integral0^inftydxx^2+9

Passo 4

Aplicando a fórmula integral0^inftydx/(x^2+a^2)=pi/(2a), temos
integral0^inftydxx^2+4=pi2cdot2=pi4, integral0^inftydxx^2+9=pi2cdot3=pi6

Passo 5

Substituindo esses resultados,
-35cdotpi4 +85cdotpi6 =-3pi20+8pi30 =-3pi20+4pi15
Colocando em denominação comum 60:
-9pi60+16pi60 =7pi60

Resposta

boxed7pi60

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