Calcule os integrais dados, aplicando o teorema sobre resíduo no ponto infinito
oint|z|=2 z^9(z^5+i)^2 sin (z+1z) d z

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de contorno
oint|z|=2 z^9l(z^5+ir)^2;sin!l(tfracz+1zr),dz
usando o teorema dos resíduos no ponto infinito. Aqui o conteúdo é a aplicação da definição de resíduo em infty e da relação entre esse resíduo e o valor do integral.

Passo 2

Pelo teorema dos resíduos, se é meromorfa fora de um disco suficientemente grande, vale
e o integral orientado positivamente no contorno que envolve todos os pólos finitos satisfaz
Portanto basta encontrar .

Passo 3

Definimos
f(z)=z^9l(z^5+ir)^2;sin!l(tfracz+1zr)
Para obter o resíduo em infty, fazemos a expansão de f(z) em potências de 1/z para ztoinfty e extraímos o coeficiente de 1/z. Primeiro,
sin!l(tfracz+1zr) =sin!l(1+tfrac1zr) =sin1cos!l(tfrac1zr)+cos1sin!l(tfrac1zr),
e, usando as séries
cos!l(tfrac1zr)=1-tfrac12z^2+cdots, sin!l(tfrac1zr)=tfrac1z-tfrac16z^3+cdots,
vem
sin!l(tfracz+1zr) =sin1+cos1;1z+O!l(tfrac1z^2r)

Passo 4

Agora expandimos
z^9l(z^5+ir)^2 =;z^-1;1l(1+i,z^-5r)^2 =z^-1l(1-2i,z^-5+O(z^-10)r)
Multiplicando as duas séries:
f(z) =z^-1l(1-2i,z^-5+cdotsr),l(sin1+cos1,z^-1+cdotsr) =sin1;z^-1+cos1;z^-2+cdots
Logo o coeficiente de 1/z é sin1.

Passo 5

Pela definição, o resíduo em é
Portanto o integral é

Resposta

2pi i,sin1

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