Calcule os integrais dados, aplicando o teorema sobre resíduo no ponto infinito
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral de contorno
usando o teorema dos resíduos no ponto infinito. Aqui o conteúdo é a aplicação da definição de resíduo em
e da relação entre esse resíduo e o valor do integral.
Passo 2
Pelo teorema dos resíduos, se
é meromorfa fora de um disco suficientemente grande, vale
e o integral orientado positivamente no contorno que envolve todos os pólos finitos satisfaz
Portanto basta encontrar .
Passo 3
Definimos
Para obter o resíduo em
, fazemos a expansão de
em potências de
para
e extraímos o coeficiente de
. Primeiro,
e, usando as séries
vem
Passo 4
Agora expandimos
Multiplicando as duas séries:
Logo o coeficiente de
é
.
Passo 5
Pela definição, o resíduo em
é
Portanto o integral é