Resolva as seguintes integrais indefinidas.
integral x4 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral x4x+1,dx
Trata-se de uma função racional simples, e a técnica mais direta é usar divisão algébrica para reescrever o integrando.

Passo 2

Fazendo a divisão algébrica: note que
x = 14(4x+1) - 14,
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x4x+1 = 14(4x+1) - 144x+1 = 14 - 14,14x+1

Passo 3

Com isso a integral se separa em dois termos bem conhecidos:
integral x4x+1,dx = integral 14,dx - integral 14,14x+1,dx

Passo 4

Agora é só integrar cada parte:
  • integral 14,dx = x4
  • Para integral 14,14x+1,dx, faça u=4x+1, du=4,dx, ou reconheça diretamente a forma integral14x+1dx=14lnlvert4x+1rvert. Assim
integral 14,14x+1,dx = 14cdot14lnllvert4x+1rrvert = 116lnllvert4x+1rrvert

Passo 5

Juntando os resultados e adicionando a constante de integração C, fica
integral x4x+1,dx = x4 - 116lnllvert4x+1rrvert + C

Resposta

x4 - 116lnllvert4x+1rrvert + C

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