Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: duas raîzes reais iguais.
y^prime prime+10 y^prime+25 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' + 10,y' + 25,y = 0
O conteúdo é “equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes” e, neste caso, vamos ver que as raízes da característica são reais e iguais. Nosso objetivo é achar a equação característica e, a partir dela, escrever a solução geral.

Passo 2

Para montar a equação característica, substituímos uma solução do tipo y=e^r x. Isso leva a
r^2 + 10,r + 25 = 0,
que é a nossa equação característica.

Passo 3

Calculamos o discriminante da característica:
De<a = 10^2 - 4 cdot 1 cdot 25 = 100 - 100 = 0
Como De<a=0, há uma única raiz real dupla dada por
r = -102 = -5

Passo 4

No caso de raiz real dupla r1 = r2 = -5, a teoria diz que a solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2,x,e^r1 x
Substituindo r1 = -5, obtemos
y(x) = C1 e^-5x + C2,x,e^-5x

Resposta

Equação característica:
r^2 + 10r + 25 = 0
Solução geral:
y(x) = C1 e^-5x + C2,x,e^-5x

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