Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: duas raîzes reais iguais.
.
Caso: duas raîzes reais iguais.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
O conteúdo é “equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes” e, neste caso, vamos ver que as raízes da característica são reais e iguais. Nosso objetivo é achar a equação característica e, a partir dela, escrever a solução geral.
Passo 2
Para montar a equação característica, substituímos uma solução do tipo
. Isso leva a
que é a nossa equação característica.
Passo 3
Calculamos o discriminante da característica:
Como
, há uma única raiz real dupla dada por
Passo 4
No caso de raiz real dupla
, a teoria diz que a solução geral é
Substituindo
, obtemos
Resposta
Equação característica:
Solução geral: