Calcule o valor médio da função f(x)=2 x+1x^2+5, x in[1,3].

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função
f(x)=2x+1x^2+5
no intervalo [1,3]. Vamos usar a definição de valor médio de uma função contínua num intervalo [a,b], que é
fmédia=1b-aintegrala^bf(x),dx é

Passo 2

Aplicando essa definição ao nosso caso, com a=1 e b=3, obtemos
fmédia =13-1integral1^32x+1x^2+5,dx =12integral1^32x+1x^2+5,dx é

Passo 3

Para calcular integral2x+1x^2+5,dx, separamos em duas frações:
2x+1x^2+5 =2xx^2+5+1x^2+5
Sabemos que
integral2xx^2+5,dx =lnl(x^2+5r),
e que, com a=raiz5,
integral1x^2+5,dx =integral1x^2+a^2,dx =1aarctan!l(xar) =1raiz5arctan!l(xraiz5r)

Passo 4

Logo, uma primitiva de 2x+1x^2+5 é
lnl(x^2+5r) +1raiz5arctan!l(xraiz5r)
A integral definida de 1 a 3 fica
integral1^32x+1x^2+5,dx =gl[lnl(x^2+5r)gr]1^3 +1raiz5gl[arctan!l(xraiz5r)gr]1^3

Passo 5

Avaliaremos cada parte:
lnl(3^2+5r)-lnl(1^2+5r) =ln(14)-ln(6) =ln!l(146r) =ln!l(73r),
e
arctan!l(3raiz5r) -arctan!l(1raiz5r)
Portanto
integral1^32x+1x^2+5,dx =ln!l(73r) +1raiz5l(arctan!l(tfrac3raiz5r) -arctan!l(tfrac1raiz5r)r)

Passo 6

Finalmente, multiplicamos por tfrac12 para obter o valor médio:
fmédia =12ln!l(73r) +12raiz5l(arctan!l(tfrac3raiz5r) -arctan!l(tfrac1raiz5r)r) é

Resposta

fmédia =12ln!l(73r) +12raiz5l(arctan!l(tfrac3raiz5r) -arctan!l(tfrac1raiz5r)r) é

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