Calcule os integrais impróprios seguintes
integral0^infty x^2 d x(x^2+4)^2(x^2+9)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral impróprio
integral0^infty x^2l(x^2+4r)^2l(x^2+9r),dx
Este é um caso de integração de função racional, e vamos usar decomposição em frações parciais para reduzir a integrais conhecidas do tipo
integral0^inftydxx^2+a^2 e
integral0^inftydx(x^2+a^2)^2.

Passo 2

Fazemos o ansatz de frações parciais
x^2(x^2+4)^2(x^2+9) =Ax^2+4+B(x^2+4)^2+Cx^2+9
Multiplicando ambos os lados por (x^2+4)^2(x^2+9), obtemos
x^2=A,(x^2+4)(x^2+9)+B,(x^2+9)+C,(x^2+4)^2

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes de
Da primeira equação (C=-A]. Substituindo nas outras e resolvendo dá

Passo 4

Reescrevendo o integral:
I =integral0^inftyx^2(x^2+4)^2(x^2+9),dx =Aintegral0^inftydxx^2+4 +Bintegral0^inftydx(x^2+4)^2 +Cintegral0^inftydxx^2+9
Usamos as fórmulas padrões:
integral0^inftydxx^2+a^2=pi2a, integral0^inftydx(x^2+a^2)^2=pi4a^3
Para a=2 e a=3 obtemos
integral0^inftydxx^2+4=pi4, integral0^inftydx(x^2+4)^2=pi32, integral0^inftydxx^2+9=pi6

Passo 5

Substituindo:
I =pil(Acdot14+Bcdot132+Ccdot16r) =pil(925cdot14-45cdot132-925cdot16r) =pi200

Resposta

pi200

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