Calcule os integrais impróprios seguintes
integral0^infty x^2 d x(x^2+1)^3

Passo 1

O enunciado pede calcular o integral impróprio
integral0^infty x^2,dx(x^2+1)^3
O conteúdo aqui é integrais impróprias e mudanças de variável trigonométrica para tratar termos da forma (x^2+1).

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
x = tantheta, dx = sec^2theta,dtheta,
com limites: quando x=0, theta=0; quando xtoinfty, thetatotfracpi2.

Passo 3

Substituindo no integrando:
x^2 = tan^2theta, x^2+1 = sec^2theta,
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x^2,dx(x^2+1)^3 = tan^2theta;sec^2theta,dthetasec^6theta = tan^2theta,sec^-4theta,dtheta = sin^2thetacos^2theta,dtheta
O integral vira
integral0^pi/2sin^2thetacos^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade de ângulo duplo:
sin^2thetacos^2theta =tfrac14sin^2(2theta),
então
integral0^pi/2sin^2thetacos^2theta,dtheta =tfrac14integral0^pi/2sin^2(2theta),dtheta

Passo 5

Para integral0^pi/2sin^2(2theta),dtheta fazemos u=2theta, du=2,dtheta, obtendo
integral0^pi/2sin^2(2theta),dtheta =tfrac12integral0^pisin^2u,du =tfrac12cdottfracpi2 =tfracpi4
Portanto o integral original vale
tfrac14cdottfracpi4 =tfracpi16

Resposta

pi16

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