Calcule os integrais impróprios seguintes
integral0^infty d x(x^2+5 x+4)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral impróprio
integral0^infty dxl(x^2+5x+4r)^2
O conteúdo necessário é fatorar o denominador, usar frações parciais e depois avaliar a primitiva nos limites de 0 a infty.

Passo 2

Primeiro fatoramos o polinômio do denominador:
x^2+5x+4=(x+1)(x+4)
Então escrevemos
1(x+1)^2(x+4)^2 =Ax+1+B(x+1)^2 +Cx+4+D(x+4)^2

Passo 3

Multiplicando por (x+1)^2(x+4)^2 obtemos
1=A(x+1)(x+4)^2+B(x+4)^2 +C(x+4)(x+1)^2+D(x+1)^2
Para encontrar B usamos x=-1:
1=B(3)^2Longrightarrow B=tfrac19
Para D usamos x=-4:
1=D(-3)^2Longrightarrow D=tfrac19
Para achar A e C podemos substituir outros dois valores, por exemplo x=0 e x=-2. Após simplificar, chegamos a
A=-227, C=227

Passo 4

Com os coeficientes em mãos, a integral torna-se
integraldx(x+1)^2(x+4)^2 =integrall(Ax+1+B(x+1)^2 +Cx+4+D(x+4)^2r)dx
Uma primitiva é
F(x) =Aln(x+1)+Cln(x+4) -Bx+1-Dx+4

Passo 5

Agora avaliamos o integral de 0 a infty. Primeiro o limite em infinito: como A+C=0, os termos logarítmicos se cancelam e os termos tfrac1x+1, tfrac1x+4 vão a zero, logo
F(infty)=0
Em x=0:
F(0) =Aln1+Cln4-B1-D4 =227ln4-19-136
Portanto
integral0^inftydx(x^2+5x+4)^2 =F(infty)-F(0) =-l(227ln4-19-136r)
Trocando ln4=2ln2 e simplificando, obtemos
536-427ln2

Resposta

integral0^inftydx(x^2+5x+4)^2 =536-427ln2

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