Em cada uma das questões de 1 a 4, encontre a equação característica e determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem ou a solução do problema de valor inicial dados.
Caso: raízes complexas.
y^prime prime-2 y^prime+6 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 6y = 0
no caso em que as raízes da equação característica são complexas. Vamos então montar a equação característica e aplicar o caso de raízes complexas.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada trocando y por e^mx:
m^2 - 2m + 6 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante:
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot6 = 4 - 24 = -20 < 0
Como De<a<0, as raízes são complexas:
m = 2 pm raiz-202 = 1 pm iraiz5
Aqui alpha = 1 e beta = raiz5.

Passo 4

Para raízes complexas da forma alpha pm ibeta, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha=1 e beta=raiz5, obtém-se
y(x) = e^xl(C1cos(raiz5,x) + C2sin(raiz5,x)r)

Resposta

y(x) = e^xl(C1cos(raiz5,x) + C2sin(raiz5,x)r)

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