1. Se g(theta)=sen thetatheta, determine g^prime(theta) e g^prime prime(theta).

Passo 1

O enunciado define a função
g(theta)=senthetatheta,
e pede a primeira e a segunda derivadas. Aqui vamos usar a regra do quociente, que diz: se g(theta)=u(theta)v(theta), então
g'(theta)=u'(theta),v(theta)-u(theta),v'(theta)[v(theta)]^2

Passo 2

Aplicando a regra do quociente a
u(theta)=sentheta, v(theta)=theta,
temos u'(theta)=costheta e v'(theta)=1. Logo,
g'(theta) =costheta;theta-senthetacdot1theta^2 =thetacostheta-senthetatheta^2

Passo 3

Agora para achar g''(theta) vamos derivar
g'(theta)=thetacostheta-senthetatheta^2
novamente por quociente. Defina
h(theta)=thetacostheta-sentheta, k(theta)=theta^2
Calculamos
h'(theta)=ddtheta(thetacostheta)-ddtheta(sentheta) =(costheta-thetasentheta)-costheta =-thetasentheta,
e
k'(theta)=2theta

Passo 4

Pela regra do quociente,
g''(theta) =h'(theta),k(theta)-h(theta),k'(theta)[k(theta)]^2 =(-thetasentheta),theta^2-(thetacostheta-sentheta),2thetatheta^4
No numerador:
-theta^3sentheta-2theta^2(thetacostheta-sentheta) =-theta^3sentheta-2theta^3costheta+2theta^2sentheta =theta^2l(-thetasentheta-2thetacostheta+2senthetar)
Dividindo por theta^4 sobra
g''(theta) =-theta(sentheta+2costheta)+2senthetatheta^2

Resposta

g'(theta)=thetacostheta-senthetatheta^2, g''(theta)=-theta(sentheta+2costheta)+2senthetatheta^2

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